Бра и кет
⟨ | ∣ | ⟩ |
bra | ket | |
бра | кет | |
ско | бка |
Бра и кет (англ. bra-ket < bracket скобка) — алгебраический формализм (система обозначений), предназначенный для описания квантовых состояний. Называется также обозначениями Дирака. В матричной механике данная система обозначений является общепринятой. Данная система обозначений представляет собой не более чем иные текстуальные обозначения для векторов, ковекторов, билинейных форм и скалярных произведений, и потому применима (хотя и не так часто используется) в линейной алгебре вообще. В тех случаях, когда данная система обозначений используется в линейной алгебре, обычно речь идет о бесконечно-мерных пространствах и/или о линейной алгебре над комплексными числами.
Определение и использование
правитьВ квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства элементы которого называются «векторы состояния» («кет-векторы») и обозначаются символом .
Каждому кет-вектору ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к то есть из
Бра-вектор из пространства определяется соотношением:
, для любого кет-вектора
Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису или
Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: На векторы, описывающие состояния системы, когда это возможно, накладывается условие нормировки
Линейные операторы
правитьЕсли — линейный оператор из в , то действие оператора на кет-вектор записывается как
Для каждого оператора и бра-вектора вводится функционал из пространства то есть бра-вектор, умноженный на оператор , который определяется равенством:
- для любого вектора
Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто
Это выражение называется свёрткой оператора с бра-вектором и кет-вектором Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).
В частности, матричный элемент оператора в определённом базисе (в тензорных обозначениях — ) записывается в обозначениях Дирака как а среднее значение наблюдаемой (билинейная форма) на состоянии — как
Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):
Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:
- где — гамильтониан, а — скаляр (уровень энергии).
Отличия бра-кет-обозначений от традиционных
правитьВ математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.
С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору будет являться бра-вектор (где — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.
Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.
В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.
Математические свойства
правитьБра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».
Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера , бра-векторы — размера , операторы — размера , где — количество состояний квантовой системы (размерность пространства ). Матрицы размера 1 × 1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.
Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:
где |
Запись типа всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева кет-вектор — скобку справа Вводится также произведение в «неестественном» порядке — (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор имеет ранг 1 и является тензорным произведением и Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор (при нормировке ) является проектором на состояние , точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в
Имеет место ассоциативность:
и т. д.
Литература
править- Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
- Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
- Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
- Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
- Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
- Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.