Обсуждение:Бра и кет

Комплексное сопряжение элемента гильбертового пространства

Понятно как сопрягать комплексные числа, или даже функции, но вот как сопрягать элемент просто гильбертового пространства? Например, могу ли я взять комплексное сопряжение стула, и что получится? Может стоит убрать этот абзац или уточнить, что речь идет именно о случае пространства комплекснозначных (волновых) функций? Astronavigator 20:52, 3 октября 2010 (UTC)Astronavigator

Ну если непонятно, то может лучше сначала почитаете? Incnis Mrsi (вклад) 09:48, 3 июня 2014 (UTC)

По поводу действия линейных операторов

Содержание раздела "Линейные операторы" создает ощущение некоторой путаницы относительно действия операторов в пространстве бра- и кет-векторов, т.к. возникает впечатление, что оператор $A$ может действовать как на бра-векторы, так и на кет-векторы. Это особенно бросается в глаза в конце этого раздела, когда приводятся выражения:

$|{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,$

$\langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.$

где оператор $A$ действует в обоих пространствах. Хотя на самом деле такого быть не может.

При определении оператора однозначно указывается пространство, в котором он действует. Т.е. если $A$ был определен в пространстве ${\mathcal {H}}$, то он никак не может действовать в ${\mathcal {H}}^{*}$. Тем не менее, в сопряженном пространстве можно ввести оператор $A^{+}$, который будет однозначно соответствовать оператору $A$ в пр-ве ${\mathcal {H}}$ и который будет определяться равенствами:

$\langle {\varphi }|\,{A}^{+}=\langle {\theta }|,$ при условии $\langle {\theta }^{+}|=|{\theta }\rangle ,\quad \langle {\varphi }|^{+}=|{\varphi }\rangle ,\quad {A}|\varphi \rangle =|\theta \rangle .$

Очевидно, что действие оператора $A^{+}$ также можно определить более лаконично, используя равенство

${\bigg (}\langle \varphi |A^{+}{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},$ для любого вектора $|\psi \rangle .$

В силу того, что оператор ${A}^{+}$ определяется оператором $A$, в квантовой механике используют соглашение, допускающее, что оператор $A$, может действовать как в пространстве ${\mathcal {H}}$, так и в пространстве ${\mathcal {H}}^{*}$. Но это не более чем "физический жаргон", о чем желательно упомянуть в этом разделе. В рамках которого, конечно, допустимо писать

${\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},$ для любого вектора $|\psi \rangle .$

Примеры использования такого "жаргона" можно найти как у самого Дирак в "Принципах квантовой механики", так и в классических учебниках, например, А. Мессиа, Квантовая механика, т.1, стр. 246, М.: Наука, 1978. Тем не менее совершенно не стоит писать выражения, о которых я упоминал выше:

$|{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,$

$\langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.$

Кроме этого предлагаю заменить следующий текст: "... Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа)" на "... Действие оператора на вектор (на кет-вектор — справа, на бра-вектора — слева)...". Понятия умножения вектора на оператор (равно и наоборот) в математике нет. Есть понятие действия оператора на вектор.

Если авторы не возражают, я внесу соответствующие правки. Oleg Kurnyavko (обс.) 11:59, 7 августа 2019 (UTC)

Не вижу никаких проблем в испралении, но умножение есть в матричном представлении. --Alexander Mayorov (обс.) 15:24, 7 августа 2019 (UTC)

По поводу понятия умножения в матричном представлении - согласен. Статью исправлю. Спасибо, Александр. -- Oleg Kurnyavko (обс.) 07:40, 9 августа 2019 (UTC)