Открыть главное меню

Гамильтониан (квантовая механика)

Гамильтониа́н ( или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. Функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.

Содержание

Уравнение ШрёдингераПравить

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если   — состояние системы в момент времени t, то

 

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

 

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

По свойству *-гомоморфизма, оператор

 

унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.

Выражения для гамильтониана в координатном представленииПравить

Свободная частицаПравить

Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

 

и для трёх измерений:

 

Потенциальная ямаПравить

Для частицы в постоянном потенциале V = V0 (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:

 

В трёх измерениях:

 

Простой гармонический осцилляторПравить

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как

 

где угловая частота   коэффициент упругости k и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению

 

поэтому гамильтониан имеет вид

 

Для трёх измерений гамильтониан принимает вид

 

где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:

 

Полный гамильтониан — это сумма одномерных гамильтонианов:

 

В квантовой теории поляПравить

В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени, в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергии их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.

СсылкиПравить