Открыть главное меню

Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.

Содержание

Конечномерный случайПравить

Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора (обычно обозначается  ) называется множество его собственных значений.

Квадратную матрицу порядка   можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В таком случае говорят о спектре матрицы.

Общее определениеПравить

Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над  . Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор  , называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора  . Спектр ограниченного оператора представляет собой компакт в   или является пустым. Спектр линейного ограниченного оператора непуст.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:

  1. дискретным (точечным) спектром   называется множество таких  , при которых оператор   не инъективен. Дискретный спектр является множеством всех собственных значений оператора A; в конечномерном случае присутствует только точечный спектр;
  2. непрерывным спектром   называется множество значений  , при которых резольвента   определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной (то есть оператор   инъективен, но не сюръективен, а его образ всюду плотен);
  3. остаточным спектром   называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части (то есть оператор   инъективен, не сюръективен, причем его образ не является всюду плотным).

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через  . При этом выполняется равенство  .

В комплексном случае резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при   она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке  .

Разность двух максимальных по абсолютной величине значений из спектра называется спектральной щелью (англ. spectral gap).

В квантовой механикеПравить

Спектр самосопряжённых операторов играет важную роль в квантовой механике, определяя множество возможных значений наблюдаемой при измерении. В частности, спектр гамильтониана определяет допустимые уровни энергии квантовой системы.

Непрерывный спектрПравить

Непрерывный спектр — это спектр значений физической величины, в котором в отличие от дискретного спектра значение этой величины определено для каждого собственного состояния системы, причем бесконечно малое изменение состояния системы приводит к бесконечно малому изменению физической величины. В качестве физической величины могут выступать: координата, импульс, энергия, орбитальный момент движения и т. д. Так как произвольная волновая функция Ψ может быть разложена в ряд по собственным функциям величины с дискретным спектром, то она может быть также разложена и в интеграл по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 5 Слу — Я. — 1248 с.