Открыть главное меню

Проектор (математика)

(перенаправлено с «Проектор (алгебра)»)
На этом рисунке преобразование является ортогональной проекцией на прямую .

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор , действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проекти́рования и проекцио́нным опера́тором) если . Иногда проекционный оператор называют идемпотентным.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор является проектором, тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства и пространства , что раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любого элемента имеем , а для любого элемента имеем . Подпространство называется образом, а  — ядром проектора .

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства пространства , вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с .

Свойства проекционных операторовПравить

Комбинации проекторовПравить

Пусть   и   проекторы, заданные на пространстве  , и проецирующие на подпространства   и   соответственно. Тогда

  •   — проектор на подпространстве  , в том и только том случае, когда  .
  •   является проектором тогда и только тогда, когда  .   проецирует на подпространство  .
  • Если  , то   — проектор на подпространство  .

ПримерыПравить

 

Действует на точки она следующим образом:

 
 
Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.
 

Легко показать, что это действительно проектор:

 

Проекция, задаваемая  , ортогональна, тогда и только тогда, когда  .

Ортогональный проекторПравить

Если пространство  гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства   и   ортогональны друг другу, иными словами, когда    , или  , или  . В этом случае проекция элемента   является ближайшим к нему элементом пространства  .

ЛитератураПравить