Уравнение Гамильтона — Якоби

В физике и математике уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение следующего вида

Здесь S обозначает классическое действие,  — классический гамильтониан,  — обобщенные координаты.

Непосредственно относится к классической (не квантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.

Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, но представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы s, в отличие от 2s уравнений Гамильтона и s уравнений Эйлера — Лагранжа.

Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.

Каноническое преобразованиеПравить

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции   (пренебрегая индексами) уравнения движения принимают один и тот же вид для   и   при следующем преобразовании

 

Новые уравнения движения становятся

 

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической производящей функции S, которая делает H' тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются, и

 

Таким образом, в штрихованной системе координат система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако мы еще не определили, при помощи какой производящей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат. Мы используем тот факт, что

 

Поскольку уравнение (1) даёт   можно записать

 

что является уравнением Гамильтона — Якоби.

РешениеПравить

Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о  ) и соответствующий ей импульс   входят в уравнение в форме

 

Тогда можно положить

 
 

где   — произвольная постоянная,   — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид

 

где   — произвольные постоянные,   — константа интегрирования. Напомним, что при этом   является функцией конечной точки  . Так как действие задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы, то его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:

 

Совместно с уравнениями на импульсы это определяет движение системы.

Также если в голономной системе с   степенями свободы кинетическая энергия   имеет вид   и потенциальная энергия   имеет вид  , где  , то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них) (Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби).[1]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить