Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби

Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби — утверждение о достаточных условиях интегрируемости в квадратурах (существования решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них) уравнения Гамильтона — Якоби.

Формулировка

Если в голономной системе с $s$ степенями свободы кинетическая энергия $T$ имеет вид

$T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}(q_{m}){\dot {q}}_{m}^{2}$

и потенциальная энергия $\Pi$ имеет вид

$\Pi ={\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m})$,

где $f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m})$, то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них).

Доказательство

Функция Гамильтона для условий теоремы имеет вид:

$H=T+\Pi ={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}(q_{m}){\dot {q}}_{m}^{2}+{\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m})=h$.

Обобщенные импульсы равны

$p_{m}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}=fA_{m}(q_{m}){\dot {q}}_{m}$.

С учётом этого функция Гамильтона:

$H={\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {p_{m}^{2}}{2A_{m}(q_{m})}}+\Pi _{m}(q_{m})\right]=h$.

Произведем замену $p_{m}={\frac {\partial W}{\partial q_{m}}}$. Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид:

$\sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m})}}\left({\frac {\partial W}{\partial q_{m}}}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\right]=0$.

Будем искать полный интеграл этого уравнения в виде:

$W=W_{1}(q_{1})+W_{2}(q_{2})+...+W_{s}(q_{s})$.

Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид:

$$\sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m})}}\left({\frac {\partial W_{m}}{\partial q_{m}}}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\right]=0\qquad (1)$$

Каждое слагаемое левой части этого уравнения зависит только от одной обобщённой координаты $q_{m}$, поэтому можно применить метод разделения переменных. Это уравнение выполняется, если каждое из слагаемых равно постоянной величине:

${\frac {1}{2A_{m}(q_{m})}}\left({\frac {\partial W_{m}}{\partial q_{m}}}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})=\alpha _{m}$,

причем должно выполняться условие $\alpha _{1}+\alpha _{2}+...\alpha _{s}=0$. Каждое из уравнений (1) является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого сводится к квадратуре:

$W_{m}=\int {\sqrt {2A_{m}(q_{m})\left[\alpha _{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi _{m}(q_{m})\right]}}dq_{m}$.

Таким образом, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби равен:

$W=\sum _{m=1}^{s}\int {\sqrt {2A_{m}(q_{m})\left[\alpha _{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi _{m}(q_{m})\right]}}dq_{m}$

Этот интеграл содержит $s$ произвольных постоянных $h,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s-1}$ и постоянную $\alpha _{s}=-(\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{s-1})$

Литература

• Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.