Компланарность

Компланарность (лат. com — совместность, лат. planus — плоский, ровный) — свойство трёх (или большего числа) векторов, которые, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости[1].

Два примера трёх компланарных векторов (серым цветом показана плоскость, которой они принадлежат)

СвойстваПравить

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными. Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, это свойство — основной критерий компланарности трёх векторов. Эквивалентный критерий компланарости — линейная зависимость компланарных векторов: существуют действительные числа   и  такие, что   для компланарных  ,   и   за исключением случаев   или  .

В трёхмерном пространстве три некомпланарных вектора  ,   и   образуют базис. То есть любой вектор   можно представить в виде:  . Тогда   будут координатами   в данном базисе.

ОбобщенияПравить

Критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а, например, как элементы произвольного векторного пространства.

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), некомпланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

ПримечанияПравить

  1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М., Наука, 1975, § 115