Открыть главное меню

Компланарность

Два примера трёх компланарных векторов (серым цветом показана плоскость, которой они принадлежат)

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости[1].

ОбозначенияПравить

Единого обозначения компланарность не имеет.

Свойства компланарностиПравить

Пусть   — векторы пространства  . Тогда верны следующие утверждения:

  • Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
  • Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
  • Смешанное произведение компланарных векторов  . Это — критерий компланарности трёх векторов.
  • Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.
  • Существуют действительные числа   такие, что   для компланарных  , за исключением случаев   или  . Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.
  • В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора   образуют базис. То есть любой вектор   можно представить в виде:  . Тогда   будут координатами   в данном базисе.

Другие объектыПравить

Выше описанные критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного векторного пространства).

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), не компланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

ПримечанияПравить

  1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М., Наука, 1975, § 115

См. такжеПравить