Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

  • одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в некоторую кривую;
  • m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в , вообще говоря, m-мерную поверхность;
  • векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на .

Содержание

Вектор-функция одной скалярной переменнойПравить

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной   отображает некоторый интервал вещественных чисел   в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты  , мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

 

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Говорят, что вектор-функция   имеет предел   в точке  , если   (здесь и далее   обозначают модуль вектора  ). Предел вектор-функции имеет обычные свойства:

  • Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
  • Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
  • Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.

Непрерывность вектор-функции определяется традиционно.

Производная вектор-функции по параметруПравить

Определим производную вектор-функции   по параметру:

 .

Если производная в точке   существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут  .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

  •   — производная суммы есть сумма производных
  •   — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
  •   — дифференцирование скалярного произведения.
  •   — дифференцирование векторного произведения.
  •   — дифференцирование смешанного произведения.

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Вектор-функция нескольких скалярных переменныхПравить

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции   (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение   имеет вид:

 

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две:  . Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём   не обращается тождественно в ноль.

 
Координатная сетка на сфере

Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:

 ,

где t — параметр кривой. Зависимости   предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:

  — первая координатная линия.
  — вторая координатная линия.

Если на поверхности нет особых точек (  нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.

ЛитератураПравить