Напряжённость гравитационного поля

Напряжённость гравитацио́нного по́ля — векторная величина, характеризующая гравитационное поле в данной точке и численно равная отношению силы тяготения ${\vec {F}}$ , действующей на пробное тело, помещённое в данную точку поля, к гравитационной массе этого тела $m_{G}$ :

{\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{m_{G}}}.

Измеряется в ньютонах на килограмм, или, что то же самое, в м/с².

Свойства

Если источником гравитационного поля является некое гравитирующее тело, то согласно Закону всемирного тяготения:

E={\frac {G{\frac {m_{G}M_{G}}{R^{2}}}}{m_{G}}}=G{\frac {M_{G}}{R^{2}}},

где $G$ — гравитационная постоянная; $M_{G}$ — гравитационная масса тела-источника поля; $R$ — расстояние от исследуемой точки пространства до центра масс тела-источника поля.

Применяя Второй закон Ньютона и принцип эквивалентности гравитационной ( $m_{G}$ ) и инертной ( $m_{I}$ ) масс, имеем:

{\begin{cases}m_{I}=m_{G}\\F=m_{I}g\\F=G{\frac {m_{G}M_{G}}{R^{2}}}\\{\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{m_{G}}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}g=G{\frac {M_{G}}{R^{2}}}\\E=G{\frac {M_{G}}{R^{2}}}\end{cases}}\Rightarrow E=g,

то есть напряжённость гравитационного поля численно (и по размерности) равна ускорению свободного падения в этом поле.

Напряжённость связана с потенциалом гравитационного поля как

{\vec {E}}({\vec {r}})=-\nabla \varphi ({\vec {r}})

,

где $\nabla$ — оператор набла. Налицо математическая аналогия с электростатическими потенциалом и напряжённостью.

Расчёт

В случае создания гравитационного поля совокупностью точечных масс $M_{Gi}$ напряжённость рассчитывается как сумма

{\vec {E}}({\vec {r}})=-G\sum _{i}{M_{Gi}}{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}|^{3}}}

,

где через ${\vec {r}}_{i}$ обозначены радиус-векторы масс. Частным случаем является ситуация, когда масса одна, при этом сумма будет состоять из одного слагаемого.

Для непрерывного распределения массы с плотностью $\rho$ напряжённость вычисляется через интеграл

{\vec {E}}({\vec {r}})=-G\int \rho ({\vec {r}}'){\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}\mathrm {d} V'

,

где ${\vec {r}}'$ — радиус-вектор бесконечно малого элемента объёма $dV'$ ; интегрирование выполняется по области пространства с ненулевой $\rho$ .

Литература

Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. I. Механика. — 576 с.

См. также