Открыть главное меню

Производная Ли тензорного поля по направлению векторного поля  — главная линейная часть приращения тензорного поля при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем .

Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.

Обычно обозначается .

ОпределенияПравить

АксиоматическоеПравить

Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.

  • Производная Ли   от скалярного поля   есть производная   по направлению  .
     
  • Производная Ли   от векторного поля   есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля   по направлению поля  ).
     
  • Для произвольных векторных полей 1-формы   выполняется равенство
     
  • (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T, выполняется
     

Через потокПравить

Пусть   —  -мерное гладкое многообразие и   — векторное поле на  .

Рассмотрим поток   по  , определяемый соотношениями

 .

Обратное отображение к дифференциалу  ,

 

однозначно продолжается до гомоморфизма   алгебры тензоров над   в алгебру тензоров над  . Таким образом произвольное тензорное поле  , определяет однопараметрическое семейство полей  . Производная Ли может быть определена как

 

Выражения в координатахПравить

 , где   — скаляр.

 , где   — вектор, а   — его компоненты.

 , где   — 1-форма, а   — её компоненты.

 , где   — метрический тензор, а   — его компоненты.

Производная Ли для тензорного поля в неголономном репереПравить

Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере  , тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:

 ,

где  , и введены следующие обозначения:

 ,

 

  — объект неголономности.

СвойстваПравить

  •    -линейно по   и по  . Здесь   — произвольное тензорное поле.
  • Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
  • На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
  • Пусть   и   — векторные поля на многообразии, тогда
 
есть дифференцирование алгебры  , поэтому существует векторное поле  , называемое скобкой Ли векторных полей (также их скобкой Пуассона или коммутатор), для которого
 
  • Формула гомотопии (тождество Картана):  . Здесь   — дифференциальная  -форма,   — оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как  .
  • Как следствие,  
  •  . Здесь   — гладкое сечение (естественного) векторного расслоения   (например, любое тензорное поле),   — поднятие векторного поля   на  ,   — оператор вертикального проектирования на  . (См. далее)

Физический смысл производной ЛиПравить

Пусть векторное поле   есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства   в каждый момент времени   определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля   переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей   из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.

ОбобщенияПравить

Естественные расслоенияПравить

Пусть   — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними:  . Произвольное векторное поле   порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов  , продолжающуюся с помощью   на пространство расслоения  , то есть  . Производная этой группы в нуле даёт векторное поле  , являющееся продолжением  . Группа   также позволяет определить производную Ли по   от произвольных сечений   по такой же формуле, как и в классическом случае:

 
 

Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения  , то есть ядра отображения  , так как  . Если   — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм  . Оператор вертикального проектирования   позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

 

Производная Ли по формамПравить

Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются т. н. алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид  , где   — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования   определяется по формуле  

 

Здесь   — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме   определяется через суперкоммутатор операторов:

 

Её значение определяется тем, что любое дифференцирование   супералгебры   однозначно представимо в виде  , где  ,   — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле   можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.

ЛитератураПравить

  • Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
  • Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351.

См. такжеПравить