Открыть главное меню

Дифференцирование (алгебра)

Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

Кольцо, поле, алгебра, оснащённые дифференцированием, называются соответственно дифференциальным кольцом, дифференциальным полем, дифференциальной алгеброй.

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть   — алгебра над кольцом  . Дифференцирование алгебры   — это  -линейное отображение  , удовлетворяющее тождеству Лейбница:

 

В более общем случае дифференцирование коммутативной   со значениями в  -модуле   — это  -линейное отображение  , удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае   называют дифференциальным модулем над   Множество всех дифференцирований со значениями в   обозначается   ( ,  ) и является  -модулем. Функтор   является представимым, его представляющий объект обозначается   или   и называется модулем кэлеровых дифференциалов.   является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над  , то есть существует такое дифференцирование  , что любое дифференцирование   пропускается через  :

 

СвойстваПравить

  имеет естественную структуру алгебры Ли:  .

Любое дифференцирование является дифференциальным оператором первого порядка (в смысле коммутативной алгебры). Более того, если   — алгебра с единицей, то для любого  -модуля   выполнено:

 ,

где   — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из   в  .

  является функтором из   в  .

Градуированное дифференцированиеПравить

Для  -градуированной алгебры   с градуировкой элемента  , обозначаемой  , аналогом дифференцирования являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями   степени  , удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Лейбница ( ):

 

Если  , то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если  , то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора:

 .

Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.

ЛитератураПравить