Дифференцирование (алгебра)

Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

Кольцо, поле, алгебра, оснащённые дифференцированием, называются дифференциальным кольцом, дифференциальным полем, дифференциальной алгеброй соответственно.

Определение

Пусть $A$ — алгебра над кольцом $R$. Дифференцирование алгебры $A$ — это $R$-линейное отображение $\partial :A\to A$, удовлетворяющее тождеству Лейбница:

$\partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)$

В более общем случае дифференцирование коммутативной $A$ со значениями в $A$-модуле $M$ — это $R$-линейное отображение $\partial :A\to M$, удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае $M$ называют дифференциальным модулем над $A$ Множество всех дифференцирований со значениями в $M$ обозначается $\mathrm {D} (M)$ ($\mathrm {Der} (M)$, $\mathrm {Der} _{R}(A,M)$) и является $A$-модулем. Функтор $\mathrm {D}$ является представимым, его представляющий объект обозначается $\Lambda ^{1}(A)$ или $\Omega _{A/R}^{1}$ и называется модулем кэлеровых дифференциалов. $\Lambda ^{1}(A)$ является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над $A$, то есть существует такое дифференцирование $d:A\to \Lambda ^{1}(A)$, что любое дифференцирование $\delta \in \mathrm {D} (M)$ пропускается через $d$:

$\exists !f:\Lambda ^{1}(A)\to M:~\delta =f\circ d$

Свойства

$\mathrm {D} (A)$ имеет естественную структуру алгебры Ли: $\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}\in \mathrm {D} (A)\implies [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}\in \mathrm {D} (A)$.

Любое дифференцирование является дифференциальным оператором первого порядка (в смысле коммутативной алгебры). Более того, если $A$ — алгебра с единицей, то для любого $A$-модуля $M$ выполнено:

$\mathrm {Diff} _{1}(M)=\mathrm {D} (M)\oplus M$,

где $\mathrm {Diff} _{1}(M)$ — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из $A$ в $M$.

$\mathrm {Der} _{R}(A,M)$ является функтором из $({\mathcal {R}}ing^{op})\times (R-{\mathcal {A}}lg^{op})\times (A-{\mathcal {M}}od)$ в $A-{\mathcal {M}}od$.

Градуированное дифференцирование

Для $\mathbb {Z}$-градуированной алгебры $A$ с градуировкой элемента $a\in A$, обозначаемой $|a|$, аналогом дифференцирования являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями $\mathrm {D} :A\to A$ степени $|\mathrm {D} |$, удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Лейбница ($\varepsilon =\pm$):

$\mathrm {D} (ab)=(\mathrm {D} a)b+\varepsilon ^{|a||\mathrm {D} |}a(\mathrm {D} b)$

Если $\varepsilon =1$, то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если $\varepsilon =-1$, то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора:

$[\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-(-1)^{|\mathrm {D} _{1}||\mathrm {D} _{2}|}\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}$.

Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.

Литература

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag.