Градуированная алгебра

Градуированная алгебра — алгебра А, разложенная в прямую сумму своих подпространств таким способом, что выполняется условие .[1][2]

ОпределениеПравить

Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей   по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

 

Если ненулевой элемент a принадлежит  , то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Если в качестве A в определении выше взять кольцо, то получится определение градуированного кольца.

Конструкции с градуировкамиПравить

  • Если A — G—градуированная алгебра, а   — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H—градуировкой по правилу:
 
  • На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая  , поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.
  для всякого  
Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G—градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.

ПримерыПравить

Градуированный модульПравить

Соответствующее понятие в теории модулей — градуированный модуль, а именно, левый модуль M над градуированным кольцом A, такой, что

  и  

Морфизм градуированных модулей   — это морфизм модулей, который сохраняет градуировку, то есть  .

Для градуированного модуля M можно определить -подкрутку   как градуированный модуль, определённый правилом  . (См. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)

Пусть M и N — градуированные модули. Если   — морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d, если  . Внешняя производная дифференциальной формы в дифференциальной геометрии — это пример морфизма степени 1.

ЛитератураПравить

  • C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam, 1982.

ПримечанияПравить

  1. Данная градуированная алгебра называется также  - градуированной.
  2. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич.. — М.: Сов. энциклопедия, 1988. — С. 161. — 847 с. — 150 000 экз.