Градуированная алгебра

Градуированная алгебра — алгебра ${\textstyle A}$, разложенная в прямую сумму ${\textstyle A=\bigoplus _{r=-\infty }^{\infty }A_{r}}$ своих подпространств $A_{r}$ таким способом, что выполняется условие ${\textstyle A_{r}A_{s}\subset A_{r+s}\ (r,s\in \mathbb {Z} )}$.

Определение

Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей $A_{g}$ по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

$A_{f}A_{g}\subset A_{fg}$

Если ненулевой элемент a принадлежит $A_{g}$, то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Если в качестве A в определении выше взять кольцо, то получится определение градуированного кольца.

Конструкции с градуировками

• Если A — G-градуированная алгебра, а $\psi :G\to H$ — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H-градуировкой по правилу:

$A_{h}=\oplus _{\{g\in G\mid \psi (g)=h\}}A_{g}$

• На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая $A_{e}=A$, поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.

• Над полем $\mathbb {C}$ любая алгебра A градуируется группой G характеров максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов:

  $G=(T(\operatorname {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A)))^{\vee }:\quad A_{g}=\{a\in A\mid \phi (a)=g(\phi )a$ для всякого $\phi \in T(\operatorname {Aut} _{k{\text{-alg}}}(A))\}$

Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G-градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.

Примеры

• Кольцо многочленов от одной или нескольких переменных.
• Кольцо когомологий.
• Алгебра матриц порядка n градуируется группой $\mathbb {Z} _{n-1}.$
• Полугрупповая алгебра $K\left[G\right]$ — является G-градуированной алгеброй.

Градуированный модуль

Соответствующее понятие в теории модулей — градуированный модуль, а именно, левый модуль M над градуированным кольцом A, такой, что

${\textstyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }M_{i}}$ и ${\textstyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.}$

Морфизм градуированных модулей $f:N\to M$ — это морфизм модулей, который сохраняет градуировку, то есть $f(N_{i})\subseteq M_{i}$.

Для градуированного модуля M можно определить ℓ-подкрутку $M(\ell )$ как градуированный модуль, определённый правилом $M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }$. (См. скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)

Пусть M и N — градуированные модули. Если $f:M\to N$ — морфизм модулей, то говорят, что f имеет степень d, если $f(M_{n})\subset N_{n+d}$. Внешняя производная дифференциальной формы в дифференциальной геометрии — это пример морфизма степени 1.

Литература

• C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen. Graded Ring Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1982. — ISBN 9780444864895.