Максимальный тор

Максимальный тор связной вещественной группы Ли $G$ — связная компактная коммутативная подгруппа Ли $T$ в $G$, не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа.

Свойства

• Как группа Ли, максимальный тор $T$ изоморфен прямому произведению нескольких копий «окружности» $S^{1}$ (мультипликативной группы всех комплексных чисел, равных по модулю $1$).
• Всякий максимальный тор группы $G$ содержится в максимальной компактной подгруппе группы $G$;
• Любые два максимальных тора группы $G$ (так же, как и любые две её максимальные компактные подгруппы) сопряжены в $G$.
• Пусть, далее, $G$ является компактной группой.
  • Объединение всех максимальных торов группы $G$ совпадает с $G$,
  • пересечение всех максимальных торов группы $G$ совпадает с центром $G$.
  • Алгебра Ли максимального тора $T$ является максимальной коммутативной подалгеброй в алгебре Ли $g$ группы $G$. Более того,
    • всякая максимальная коммутативная подалгебра в $g$ так получается.
  • Централизатор максимального тора $T$ в $G$ совпадает с $T$.

Литература

• Понтрягин Л.С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973;
• Желобенко Д.П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970;
• Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.