Максимальный тор

Максимальный тор связной вещественной группы Ли — связная компактная коммутативная подгруппа Ли в , не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа.

СвойстваПравить

  • Как группа Ли, максимальный тор   изоморфен прямому произведению нескольких копий «окружности»   (мультипликативной группы всех комплексных чисел, равных по модулю  ).
  • Всякий максимальный тор группы   содержится в максимальной компактной подгруппе группы  ;
  • Любые два максимальных тора группы   (так же, как и любые две её максимальные компактные подгруппы) сопряжены в  .
  • Пусть, далее,   является компактной группой.
    • Объединение всех максимальных торов группы   совпадает с  ,
    • пересечение всех максимальных торов группы   совпадает с центром  .
    • Алгебра Ли максимального тора   является максимальной коммутативной подалгеброй в алгебре Ли   группы  . Более того,
      • всякая максимальная коммутативная подалгебра в   так получается.
    • Централизатор максимального тора   в   совпадает с  .

ЛитератураПравить

  • Понтрягин Л.С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973;
  • Желобенко Д.П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970;
  • Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.