Гомотопия

Гомото́пия — семейство непрерывных отображений , непрерывно зависящих от параметра, более точно — непрерывное отображение .

Связанные определенияПравить

  • Отображения   называются гомотопными ( ), если существует гомотопия   такая, что   и  .
  • Гомотопическая эквивалентность топологических пространств   и   — пара непрерывных отображений   и   такая, что   и  , здесь   обозначает гомотопность отображений. В этом случае также говорят, что   с   имеют один гомотопический тип.
    • Если   и   гомеоморфны ( ), то они гомотопически эквивалентны; обратное в общем случае неверно.
    • Гомотопический инвариант — характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств; то есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
  • Если на некотором подмножестве   для всех   при  , то   называется гомотопией относительно  , а   и   гомотопными относительно  .
  • Отображение, гомотопное постоянному, то есть отображению в точку, называют стягиваемым или гомотопным нулю.

Вариации и обобщенияПравить

  • Изотопия — гомотопия топологического пространства   по топологическому пространству    , в которой при любом   отображение   является гомеоморфизмом   на  .
  • Отображение   называется слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп. Подпространство   топологического пространства   такое, что включение   является слабой гомотопической эквивалентностью, называется репрезентативным подпространством.
  • Если   и   есть произвольные расслоения над   то гомотопия   называется послойной, если   Морфизмы   послойно гомотопны, если существует послойная гомотопия   для которой выполняются равенства   и   Морфизм   — послойная гомотопическая эквивалентность, если существует морфизм   такой, что   и   послойно гомотопны   Расслоения   и   принадлежат к одному и тому же послойному гомотопическому типу, если существует хотя бы одна послойная эквивалентность  

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971