Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её[1].

Красным — образующая окружность

Обобщённо, тор — топологическое пространство или гладкое многообразие, эквивалентное такой поверхности.

Иногда не требуют, чтобы ось вращения не пересекала образующую окружность. В таком случае, если ось вращения пересекает образующую окружность (или касается её), то тор называют закрытым, иначе открытым[2].

Понятие тора определяется и в многомерном случае. Тор является примером коммутативной алгебраической группы и примером группы Ли.

История

править

Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

Ось тора

править

Ось вращения может пересекать окружность, касаться её и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем — открытым, или кольцом[2].

Окружность, состоящая из центров образующих окружностей, называется направляющей окружностью.

Топологические свойства

править

Тор является поверхностью рода 1 (сфера с одной ручкой). Тор является компактным топологическим пространством.

Тор имеет характеристику Эйлера — Пуанкаре χ=0.

Уравнения

править
 

Параметрическое

править

Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:

 

Алгебраическое

править

Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:

 

Такая поверхность имеет четвёртый порядок.

Существуют другие поверхности, диффеоморфные тору, имеющие другой порядок.

 , где x, y комплексные числа. Комплексная эллиптическая кривая, кубическая поверхность.
  Вложение тора в 4-мерное пространство. Это поверхность 2 порядка. Кривизна этой поверхности равна 0.

Кривизна поверхности

править
 
На торе есть точки с положительной, нулевой и отрицательной гауссовой кривизной.

Тор в трёхмерном пространстве имеет точки положительной и отрицательной кривизны. В соответствии с теоремой Гаусса-Бонне интеграл кривизны по всей поверхности тора равен нулю.

Групповая структура

править

Свойства

править
 
Этапы выворачивания тора
 
Вариант окраски участков тора
  • Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гюльдена:  .
  • Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Паппа — Гюльдена:  .
  • Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть серией диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.[3]
  • Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.[4]
  • Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также Проблема четырёх красок.

Сечения

править
 
Анимация, показывающая разрезание тора бикасательной плоскостью и две получающиеся окружности Вилларсо
 
Сечения
  • При сечении тора бикасательной плоскостью получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей, называемых окружностями Вилларсо.
    • В частности, открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности, зацепленной за ось вращения
  • Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея[5] (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
  • Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка[6].

Обобщения

править

Многомерный тор

править
 
Стереографическая проекция

Обобщением 2-мерного тора является многомерный тор (также n-тор или гипертор):

 

Поверхность вращения

править

Тор — частный случай поверхности вращения.

См. также

править

Примечания

править
  1. Матем.энциклопедия, 1985, т.5, стр. 405
  2. 1 2 Королёв Юрий Иванович. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. 2-е изд.. — Издательский дом "Питер", 2008. — С. 172. — 256 с. — ISBN 9785388003669. Архивировано 17 февраля 2017 года.
  3. Этапы выворачивания тора были приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли «Топология» в Scientific American в январе 1950 г.
  4. Подробности приведены в статье М. Гарднера в Scientific American за март 1977. Другие парадоксы, связанные с торами, можно найти в статьях М. Гарднера, опубликованных в Scientific American в декабре 1972 и декабре 1979 гг.
  5. Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие
  6. Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения «линии среза» на поверхности комбинированного тела вращения. Дата обращения: 4 ноября 2011. Архивировано 4 марта 2016 года.

Литература

править
  • Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7