Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Лемниската по форме напоминает арабскую цифру «восемь» или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой, или двойной.
История
правитьНазвание происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.
Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно[англ.], опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.
Уравнения
правитьРассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется , расположены они на оси , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
- параметрическое в прямоугольных координатах:
- в прямоугольных координатах:
Фокусы лемнискаты — и . Возьмём произвольную точку . Произведение расстояний от фокусов до точки есть
- ,
и по определению оно равно :
Возводим в квадрат обе части равенства:
Раскрываем скобки в левой части:
Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:
Выносим общий множитель и переносим:
Далее можно сделать замену , хотя это не обязательно:
В данном случае — радиус окружности, описывающей лемнискату.
- Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
Возводим в квадрат и раскрываем скобки:
Приводим к виду
Это квадратное уравнение относительно . Решив его, получим
Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:
где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.
Используя формулы перехода к полярной системе координат получим:
Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество :
Делим на , предполагая, что и используем ещё одно тождество: :
Как и в случае прямоугольной системы можно заменить :
- Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
- , где
Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.
Уравнение лемнискаты в полярной системе
подставим в формулы перехода к полярной системе координат возведённые в квадрат:
Используем тригонометрические формулы и :
Используем ещё одно легко выводимое тригонометрическое соотношение :
Выполнив необходимые преобразования, получаем:
Извлекаем корень из обеих частей обоих равенств:
Если произвести замену , то получаем искомые параметрические уравнения:
- Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.
Пусть, например, — фокусы.
Существует прямоугольная система координат (на рисунке — ), в которой уравнение лемнискаты имеет вид
Необходимо определить преобразование системы координат, переводящее в . Это преобразование осуществляется в два этапа: параллельный перенос и поворот.
Середина отрезка — , значит перенос только на по оси :
После переноса системы координат её надо повернуть на некоторый угол. Для определения угла сначала найдём расстояние между фокусами:
значит .
Теперь из геометрических соображений находим синус и косинус угла наклона к :
Формулы преобразования:
Совместив оба преобразования, получим конечные формулы перехода:
Для того, чтобы получить уравнение в стандартной системе координат, подставим эти соотношения в исходное уравнение кривой:
После преобразований:
Это уравнение задаёт лемнискату с фокусами в стандартной прямоугольной системе координат.
Свойства
правитьЛемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при , синусоидальной спирали с индексом и лемнискаты Бута при , поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.
Свойства, верные для произвольных овалов Кассини
править- Лемниската — кривая четвёртого порядка.
- Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
- Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
- Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
- Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.
Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей
править- Касательные в двойной точке составляют с отрезком углы .
- Угол , составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен .
- Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
- Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
- Радиус кривизны лемнискаты есть
Вывод |
---|
Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:
однако, легко вывести и по определению.
Формулы перехода к полярной системе координат: Выражаем : Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем и : —- это параметрическое уравнение относительно . Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно , указанное выше в разделе Уравнения. Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически: Находим производные по : Подставляем в формулу радиуса: Возвращаемся к уравнению лемнискаты: Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем: |
- Натуральное уравнение кривой имеет вид
- Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль
- Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.
Собственные свойства
править- Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
- Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
- Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
- Площадь полярного сектора , при :
- В частности, площадь каждой петли , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата с диагональю .
- Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
- Длина дуги лемнискаты между точками и выражается эллиптическим интегралом I рода:
- где
- В частности, длина всей лемнискаты
Построения
правитьСтроится окружность радиуса с центром в одном из фокусов. Из середины фокусного отрезка строится произвольная секущая ( и — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки и , равные хорде . Точки , лежат на разных петлях лемнискаты.
Вариант первый
правитьНа плоскости выбираются две точки — и — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — и ). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: . Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.
Вариант второй
правитьВ этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — и соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок соединяется не с концом центрального , а с его серединой. Пропорции также другие: .
-
Построение лемнискаты при помощи секущих
-
Шарнирный метод
-
Другой вариант шарнирного метода
Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:
№ | |||
---|---|---|---|
1 | 2 | 0 | 2 |
2 | 2 | 1 | 1 |
3 | 0 | 1 | 1 |
4 | 0 | −1 | 1 |
5 | −2 | −1 | 1 |
6 | −2 | 0 | 2 |
7 | −2 | 1 | 1 |
8 | 0 | 1 | 1 |
9 | 0 | −1 | 1 |
10 | 2 | −1 | 1 |
11 | 2 | 0 | 2 |
Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным параметрическим преставлением в прямоугольной системе координат в диапазоне изменения параметра p в интервале: .
Обобщения
править- Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
- Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
- Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения (лемниската Бернулли получается при )
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Статья об Овалах Кассини на сайте о плоских кривых (англ.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано из оригинала 22 августа 2011 года.
- ↑ Bradley R. E., D'Antonio L. A., Sandifer C. E. Euler at 300: an appreciation. — P. 121—123.
- ↑ Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 1.1. Coordinate Systems, p. 4.
Литература
править- Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
- Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Популярные лекции по математике. — М.: Гостехиздат, 1952. — С. 23—25. Архивная копия от 14 сентября 2008 на Wayback Machine
- Савелов А. А. Плоские кривые / Под. ред. А. П. Нордена. — М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. — С. 155—162.
- Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
- Lockwood E. H. A book of curves. — Cambridge: Cambridge university press, 1961. — P. 110—117.
Ссылки
править- Статья на сайте Wolfram MathWorld (англ.). Дата обращения: 15 июня 2010.
- Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 22 августа 2011 года.
- Фаньяно и длина дуги лемнискаты (итал.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 22 августа 2011 года.