Лемниската Бернулли

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската Бернулли с фокальными точками
Лемниската Бернулли с фокальными точками, построенная через параметрическое представление в GNU Octave

Лемниската по форме напоминает арабскую цифру «восемь» или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой, или двойной.

История

править

Название происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно[англ.], опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения

править

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется  , расположены они на оси  , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

 
 
Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
 
 
 
Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра
  • Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
 , где  

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от   до  . При этом, когда параметр стремится к  , точка кривой стремится к   из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к  , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

  • Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства

править
 
Некоторые свойства лемнискаты:
1. Симметрия относительно узловой точки;
2. Касательные в узловой точке имеют углы  ;
3. Для любой точки   лемнискаты выполняется:  , где   — биссектриса  ;
4.   для любой точки кривой;

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при  , синусоидальной спирали с индексом   и лемнискаты Бута при  , поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини

править
  • Лемниската — кривая четвёртого порядка.
  • Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
  • Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
     
  • Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
  • Лемнискату описывает окружность радиуса  , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей

править
  • Касательные в двойной точке составляют с отрезком   углы  .
  • Угол  , составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен  .
  • Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
  • Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
  • Радиус кривизны лемнискаты есть  

Собственные свойства

править
 
Таутохронность лемнискаты
  • Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
  • Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
  • Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол   с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
  • Площадь полярного сектора  , при  :
     
    • В частности, площадь каждой петли  , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата с диагональю  .
  • Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
  • Длина дуги лемнискаты между точками   и   выражается эллиптическим интегралом I рода:
      где  
    • В частности, длина всей лемнискаты
       

Построения

править

При помощи секущих (способ Маклорена)

править

Строится окружность радиуса   с центром в одном из фокусов. Из середины   фокусного отрезка строится произвольная секущая   (  и   — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки   и  , равные хорде  . Точки  ,   лежат на разных петлях лемнискаты.

Вариант первый

править

На плоскости выбираются две точки —   и   — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба —   и  ). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков:  . Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй

править

В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке —   и   соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок   соединяется не с концом центрального  , а с его серединой. Пропорции также другие:  .

При помощи сплайна NURBS

править
 
Пример построения лемнискаты Бернулли с помощью сплайна NURBS.
Синяя линия — контрольная ломаная сплайна. Зелёные кружки — контрольные точки сплайна. Размер кружков пропорционален весу контрольной точки. Зелёные числа рядом с контрольными точками — порядковые номера точек в контрольной ломаной.

Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:

     
1 2 0 2
2 2 1 1
3 0 1 1
4 0 −1 1
5 −2 −1 1
6 −2 0 2
7 −2 1 1
8 0 1 1
9 0 −1 1
10 2 −1 1
11 2 0 2

Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным параметрическим преставлением в прямоугольной системе координат в диапазоне изменения параметра p в интервале:  .

Обобщения

править
  • Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
  • Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
  • Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения (лемниската Бернулли получается при  )

См. также

править

Примечания

править
  1. Статья об Овалах Кассини на сайте о плоских кривых (англ.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано из оригинала 22 августа 2011 года.
  2. Bradley R. E., D'Antonio L. A., Sandifer C. E. Euler at 300: an appreciation. — P. 121—123.
  3. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 1.1. Coordinate Systems, p. 4.

Литература

править

Ссылки

править