Обсуждение:Лемниската Бернулли

Untitled

по поводу формул хочу выразить сомнение..в конспетк лецй Письменного указаны такие формулы

• в прямоугольных координатах:

$(x^{2}+y^{2})^{2}-a^{2}(x^{2}-y^{2})=0a>0.$

• в полярных координатах:

$\rho ^{2}=a^{2}\cos(2\phi ).$

т.е. фомулы без двоек... Абсолютно правильно там без двоек 85.223.207.72 21:02, 18 февраля 2008 (UTC)

двойки там есть: [1], [2], [3].

фокусы в простейшем случае — $\textstyle (-c;0)$ и $\textstyle (+c;0)$. произведение расстояний до произвольной точки есть

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$ и оно равно

... равно квадрату половины расстояния между ними [фокусами]

то есть $c^{2}$:

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=c^{2}$

$\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=c^{4}$

$\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=c^{4}$

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}c^{2}+2y^{2}c^{2}=0$

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=0$

двойка необходима для вывода уравнения: не будет её — не свернуть сумму квадратов квадрат суммы. это декартово уравнение, в полярных тоже самое. по поводу Письменного — опечатка или вывод из других посылок, тогда это уже не лемниската в строгом определении, но вероятней всего абстракция $a=c{\sqrt {2}}$. коэффициент $\textstyle c$ определяет длину отрезка и размах/радиус петли, поэтому такая замена вполне возможна, хотя она довольно искуственна.

Zorgit 19:44, 21 июня 2008 (UTC)

Извиняюсь за правку. Мне тоже преподаватель на лекциях давал формулы без двоек. Прочитал ваш комментарий, почитал справочник Выгодского, согласен, что был неправ. В английской вики en:Lemniscate of Bernoulli вообще в декартовых координатах двойка есть, а в полярных нет. И у них en:Talk:Lemniscate of Bernoulli тоже возникали аналогичные вопросы относитьельно 2 в этих формулах.

Предлагаю заменить $a$ на $c$ в формулах с двойками и добавить следующий текст: "Некоторые авторы делают замену $2c^{2}=a^{2}$ и тогда формулы записываются так: … формулы без двоек … "

С другой стороны, величина $a=c{\sqrt {2}}$ тоже не лишена смысла — это радиус окружности, в которую вписана лемниската. --gribozavr 07:46, 22 июня 2008 (UTC)

Из Обсуждение участника:Tosha

история

ваша вторая правка (20:47, 2 июля 2008 с пометкой "убрал враньё") отменена. к формуле радиуса кривизны добавлен вывод. моя ошибка — не добавить его сразу. тем не менее, перед удалением каких либо (относительно) сложных в выводе математических формул, считая их ложными, пожалуйста, докажите их ложность или предъявите ссылку на доказательство (кстати для этого и существует страница обсуждения).

первую правку (20:45, 2 июля 2008 без пометки) я не стал откатывать, потому что в ней присутствует доля конструктивизма — перенос формул экстремумов на новую строку. я не уверен, что так лучше, но вы администратор. второе изменение этой правки — замена фразы "радиус кривизны кривой..." на "радиус кривизны лемнискаты в полярном представлении..." — тоже отменено. термина лемниската (или кривая) в полярном представлении не существует. есть термин уравнение в полярном представлении — это не совсем энциклопедично, но вполне приемлемо для математического языка. если вы имели в виду это, тогда фраза "радиус кривизны уравнения..." (пусть даже и в полярном представлении) не имеет смысла. будте внимательнее к терминам. --Zorgit 19:12, 3 июля 2008 (UTC)

Всё правильно, просто меня сбила формулировка, не было сказано что речь идёт о полярных координатах. --Тоша 22:44, 3 июля 2008 (UTC)

Построение

Я убрал заведомо неверное построение, и оставил рисунок с тремя отрезкаями. К нему необходимо добавить описание... --Тоша 13:24, 24 июля 2008 (UTC)