Лемниската Бута

Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.

Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:

(x^{2}+y^{2})^{2}-(2m^{2}+c)x^{2}+(2m^{2}-c)y^{2}=0.

Виды

Форма кривой зависит от соотношения между параметрами $m$ и $c$ . Если $c>2m^{2}$ , то уравнение лемнискаты принимает вид

(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}

, где

a^{2}=2m^{2}+c

и

b^{2}=c-2m^{2}.

В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

\rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi .

Если $c<2m^{2}$ , то уравнение лемнискаты принимает вид

(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}

, где

a^{2}=2m^{2}+c

и

b^{2}=2m^{2}-c.

В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

\rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\sin ^{2}\phi .

Частные случаи

При $c=2m^{2}$ лемниската Бута вырождается в две окружности $x^{2}+y^{2}\pm 2mx=0.$
При $c=0$ лемниската Бута вырождается в лемнискату Бернулли.

Свойства

Лемниската Бута — ортогональная проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности параболоида $x^{2}+y^{2}=cz$ с поверхностью конуса $a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=c^{2}z^{2}.$
Лемнискату Бута можно получить инверсией кривой второго порядка $a^{2}x^{2}\pm b^{2}y^{2}=k^{4}$ с центром в начале координат.