Стягиваемое пространство

Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на гомотопно постоянному.

Локально стягиваемое пространство — топологическое пространство, каждая точка которого обладает стягиваемой окрестностью.

СвойстваПравить

Пространство   стягиваемо тогда и только тогда, когда существует   такое, что   — деформационный ретракт пространства  .

Стягиваемые пространства всегда односвязны; обратное утверждение, в общем случае, не имеет места, стягиваемость — более сильное ограничение, чем односвязность.

Всякое непрерывное отображение стягиваемых пространств является гомотопической эквивалентностью. Два любых непрерывных отображения произвольного пространства в стягиваемое гомотопны; притом если два любых непрерывных отображения в   гомотопны, то   — стягиваемое пространство.

Конус   для данного пространства   — стягиваемое пространство, таким образом, любое пространство   может быть вложено в стягиваемое, что, в свою очередь, свидетельствует о том, что не всякое подпространство стягиваемого пространства стягиваемо. Кроме того,   стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ретракция  .

Примеры и контрпримерыПравить

Стягиваемы  -мерное вещественное пространство  , любое выпуклое подмножество евклидова пространства, в частности —  -мерный шар.

Сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема, но при этом  -мерные евклидовы сферы нестягиваемы. Всякое непрерывное отображение  -мерной сферы в стягиваемое пространство можно непрерывно продолжить на  -мерный шар.

Другие примечательные стягиваемые пространства — многообразие Уайтхеда (трёхмерное многообразие, не гомеоморфное  ), многообразие Мазура[en] (четырёхмерное гладкое многообразие с краем, не диффеоморфное четырёхмерному шару), дом Бинга, шутовской колпак.

Все многообразия и CW-комплексы локально стягиваемы, но не стягиваемы в общем случае.

ЛитератураПравить

  • Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 39—42. — 680 с.