Конус (топология)

Конус в топологии — топологическое пространство, получающееся из исходного пространства стягиванием подпространства его цилиндра () в одну точку, то есть, факторпространство . Конус над пространством обозначается .

Конус окружности. Исходное пространство выделено голубым цветом, стянутая конечная точка выделена зелёным цветом.

Если компактное подмножество евклидова пространства, то конус над гомеоморфен объединению отрезков из в выделенную точку пространства, то есть, определение топологического конуса согласуется с определением конуса геометрического. Однако топологический конус является более общей конструкцией.

ПримерыПравить

Конус над точкой   вещественной прямой — это интервал  , конус над интервалом вещественной прямой — заполненный треугольник (2-симплекс), конус над многоугольником   — это пирамида с основанием  . Конус над кругом — это классический конус (с внутренностью); конус над окружностью — боковая поверхность классического конуса:

 ,

гомеоморфная кругу.

В общем случае конус над гиперсферой гомеоморфен замкнутому  -мерному шару. Конус над  -симплексом —  -симплекс.

СвойстваПравить

Конус   может быть сконструирован как цилиндр постоянного отображения   [1].

Все конусы являются линейно связными, поскольку любую точку можно соединить с вершиной. Более того, любой конус является стягиваемым к вершине с помощью гомотопии, задаваемой формулой  .

Если   является компактным и хаусдорфовым, то конус   можно представить как пространство отрезков, соединяющих каждую точку   с единственной точкой; если   не является компактным или хаусдорфовым, то это не так, поскольку в общем случае топология на факторпространстве   будет тоньше, чем множество отрезков, соединяющих   с точкой.

В алгебраической топологии конусы широко применяются благодаря тому, что представляют пространства как вложения в стягиваемое пространство; в этой связи также важен следующий результат: пространство   стягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом своего конуса.

Конический функторПравить

Отображение   порождает конический функторэндофунктор   над категорией топологических пространств  .

Приведённый конусПравить

Приведённый конус — конструкция над пунктированным пространством[en][2]  :

 .

Естественное вложение   позволяет рассмотреть всякое пунктированное пространство как замкнутое подмножество своего приведённого конуса[3].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Ален Хатчер. Алгебраическая топология. — Москва: Издательство МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-940-57-748-5.
  • Р. М. Свитцер. Алгебраическая топология – гомотопии и гомологии. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
  • Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — Москва: «Мир», 1971.