Многообразие Уайтхеда

Многообразие Уайтхеда — определённый пример открытого трёхмерного многообразия, являющегося стягиваемым, но не гомеоморфным $\mathbb {R} ^{3}$. Пример был найден Генри Уайтхедом в 1935 году при попытке решить гипотезу Пуанкаре.

Первые три полнотория в построении

В одномерном и двумерном случаях подобных примеров не существует.

Построение

зацепление Уайтхеда

Для построения в трёхмерной сфере $\mathbb {S^{3}}$ выбирается незаузленное полноторие $T_{1}$, далее — второе полноторие $T_{2}$ в $T_{1}$ так, что $T_{2}$ и трубчатая окрестность меридиана $T_{1}$ образуют утолщение зацепления Уайтхеда. При этом $T_{2}$ можно стянуть в дополнении меридиана $T_{1}$ и меридиан $T_{1}$ можно стянуть в дополнении $T_{2}$.

Далее строится полноторие $T_{3}$, вложенное в $T_{2}$ тем же способом, как и $T_{2}$ для $T_{1}$; это построение можно продолжить до бесконечности, получив последовательность вложенных полнотрий:

$T_{1}\supset T_{2}\supset T_{3}\supset \dots$

Континуум Уайтхеда определяется как пересечение построенных полнотрий:

$T_{\infty }=\bigcap _{i}T_{i}$.

Дополнение $W=\mathbb {S^{3}} \setminus T_{\infty }$ и есть многообразие Уайтхеда.

Свойства

• Многообразие Уайтхеда, $W$, не гомеоморфно $\mathbb {R} ^{3}$, но произведение $W\times \mathbb {R}$ гомеоморфно $\mathbb {R} ^{4}$.
• Многообразие Уайтхеда не односвязно на бесконечности. То есть $W$ содержит компактное множество $K$ такое, что для любого другого компактного множества $K'\supset K$ дополнение $W\backslash K'$ не односвязно.

См. также

• Ожерелье Антуана

Литература

• Kirby, Robion. The topology of 4-manifolds. — Springer-Verlag, 1989. — (Lecture Notes in Mathematics, 1374). — ISBN 0-387-51148-2.