Букет окружностей (известный также как роза) — это топологическое пространство, полученное путём склеивания набора окружностей вокруг одной точки. Окружности букета иногда называются лепестками розы. Букеты окружностей важны в алгебраической топологии, где они тесно связаны со свободными группами.

Букет четырёх окружностей (роза с четырьмя лепестками)

Определение править

 
Фундаментальная группа восьмёрки является свободной группой, сгенерированной элементами a и b

Букет окружностей является частным случаем букета пространств. То есть букет окружностей является факторпространством C/S, где C является несвязным объединением окружностей по множеству S, состоящему по одной точке из каждой окружности. Как клеточный комплекс букет окружностей имеет одну вершину и по одному ребру для каждой окружности. Это делает его простым примером топологического графа.

Букет из n окружностей может быть получена также путём отождествления n точек одной окружности. Букет из двух окружностей называется восьмёркой.

Связь со свободными группами править

 
Универсальное накрытие восьмёрки может быть визуализировано графом Кэли свободной группы на двух генераторах a и b

Фундаментальная группа букета окружностей является свободной с одним генератором для каждого лепестка. Универсальное накрытие является бесконечным деревом, которое может быть отождествлён с графом Кэли свободной группы. (Это специальный случай комплекса презентаций[en], ассоциированного с любым заданием группы.)

Промежуточные накрытия букета окружностей соответствуют подгруппам свободной группы. Наблюдение, что любое накрытие букета окружностей является графом, даёт простое доказательство, что любая подгруппа свободной группы свободна (теорема Нильсена — Шрейера[en]).

Поскольку универсальное накрытие букета окружностей стягиваемо, букет окружностей является K(F,1) пространством для ассоциированной свободной группы F. Из этого следует, что когомология групп[en]   тривиальна для  .

Другие свойства править

 
Восьмёрка в торе
  • Любой связный граф гомотопически эквивалентен букету окружностей. В частности, букет окружностей является факторпространством графа, полученного путём стягивания остовного дерева.
  • Шар с удалёнными n точками (или сфера с удалёнными   точками) является деформационным ретрактом в букет окружностей с n лепестками. Одна из окружностей букета окружает каждую из удалённых точек.
  • Тор с одной удалённой точкой является деформационным ретрактом в восьмёрку, а именно объединением двух генерирующих окружностей. Более обще, поверхность рода g с одной удалённой точкой является деформационным ретрактом в букет окружностей с 2g лепестками, а именно в границу фундаментального многоугольника[en].
  • Букет окружностей может иметь бесконечно много лепестков, что приводит к фундаментальной группе, которая свободна на бесконечно большом числе генераторов. Букет из счётного числа окружностей подобен гавайской серьге — имеется непрерывная биекция из букета окружностей в гавайскую серьгу, но они не гомеоморфны.

См. также править

Примечания править

Литература править

  • Allen Hatcher. Algebraic topology. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-79540-0.
  • James R. Munkres. Topology. — Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall, Inc, 2000. — ISBN 0-13-181629-2.
  • John Stillwell. Classical topology and combinatorial group theory. — Berlin: Springer-Verlag, 1993. — ISBN 0-387-97970-0.