Открыть главное меню

Порождающее множество группы (или множество образующих[1], или система образующих) — это подмножество в , такое, что каждый элемент может быть записан как произведение конечного числа элементов и их обратных.

ОпределениеПравить

Пусть   — подмножество группы  . Определим  , — подгруппу, порождённую   — как наименьшую подгруппу в  , содержащая все элементы  , то есть пересечение всех подгрупп, содержащих  . Эквивалентно,   — это подгруппа всех элементов  , которые могут быть представлены как конечные произведения элементов   и их обратных.

Если  , то говорят, что   порождает группу  . При этом элементы   называются образующими группы. Если в группе   можно выбрать конечное множество образующих, то её называют конечно порождённой группой.

ЗамечанияПравить

  • Заметим, что если   пусто, то по определению   является тривиальной группой, состоящей из нейтрального элемента.
  • Когда   содержит только один элемент  , обычно пишут   вместо  . В таком случае  циклическая подгруппа степеней   в  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
  • Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — 648 с.