Порождающее множество группы

Порождающее множество группы (или множество образующих[1], или система образующих) — это подмножество в , такое, что каждый элемент может быть записан как произведение конечного числа элементов и их обратных.

ОпределениеПравить

Пусть   — подмножество группы  . Определим  подгруппу, порождённую  , — как наименьшую подгруппу в  , содержащую все элементы  , то есть пересечение всех подгрупп, содержащих  . Эквивалентно,   — это подгруппа всех элементов  , которые могут быть представлены как конечные произведения элементов   и их обратных.

Если  , то говорят, что   порождает группу  . При этом элементы   называются образующими группы. Если в группе   можно выбрать конечное множество образующих, то её называют конечно порождённой группой.

ЗамечанияПравить

  • Заметим, что если   пусто, то по определению   является тривиальной группой, состоящей из нейтрального элемента.
  • Когда   содержит только один элемент  , обычно пишут   вместо  . В таком случае  циклическая подгруппа степеней   в  .

Порождающие полугруппы и моноидаПравить

Для случая, когда   является полугруппой или моноидом, тоже можно ввести аналогичное понятие порождающего множества:   порождает   как полугруппу или моноид, если   является минимальной полугруппой или минимальным моноидом соответственно, содержащим  .

Такое определение тоже можно изложить на языке представимости элемента в виде комбинации. Для полугруппы можно сказать, что   является порождающим множеством, если каждый элемент   можно представить как конечное произведение элементов из  . Для моноида можно сказать, что   является порождающим множеством, если каждый элемент  , кроме нейтрального, можно представить как конечное произведение элементов из  .

Из-за разницы определений одно и то же множество может быть порождающим в одном смысле, но не быть в другом. Например, для моноида неотрицательных целых чисел   порождающим множеством будет  , но для полугруппы     уже не является порождающим множеством, так как 0 нельзя представить в виде суммы единиц. Аналогично, для   как группы   является порождающим множеством, а для моноида — нет, так как в определении порождающего множества для моноида не включено взятие обратных.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Ленг, 1968, с. 23.

ЛитератураПравить

  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
  • Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967. — 648 с.