Группоид (теория категорий)

Группо́ид в теории категорий — категория, в которой все морфизмы являются изоморфизмами. Группоиды можно рассматривать как обобщение групп: категория, соответствующая группе , имеет ровно один объект и по одной стрелке для каждого элемента из , композиция стрелок задаётся как умножение соответствующих элементов в группе, при этом каждая стрелка является изоморфизмом; таким образом, множество стрелок группоида можно рассматривать как некоторое множество с частично определённой бинарной операцией умножения, так что для каждого элемента существуют левый и правый обратный, а также левая и правая единица по умножению.

В то время как повороты кубика Рубика составляют группу (с точки зрения теории категорий — изоморфизмы в категории с одним объектом), ходы в пятнашках можно сопоставить морфизмам соответствующего группоида (объектами являются положения головоломки), поскольку ход можно сделать не из всякого положения.

Группоиды естественно заменяют в теории категорий группы симметрий и возникают при классификации классов изоморфных объектов.

Любая категория, являющаяся группой, является группоидом. Для произвольной категории группоидом является подкатегория , объекты которой совпадают с объектами , а морфизмами являются всевозможные изоморфизмы в .

Для линейно связного топологического пространства определяется его фундаментальный группоид  как 2-категория, объектами которой являются все точки из , а стрелки из в соответствуют всевозможным (геометрическим) путям из в :

.

Две функции и задают один и тот же путь, если существует , так что или . Композиция стрелок задаётся композицией путей:

.

2-морфизм из в  — это гомотопия из в . Фундаментальный группоид является категорификацией фундаментальной группы. Его преимущество в том, что в пространстве не требуется выбор отмеченной точки, так что не возникает проблем с неканоничностью изоморфизма фундаментальных групп в разных точках или с пространствами, имеющими несколько компонент связности. Фундаментальная группа петель из точки возникает как группа 2-изоморфных автоморфизмов объекта .

Категория векторных расслоений ранга над стягиваемым пространством с невырожденными отображениями естественно образует группоид; в связи с этим вводится понятие джерба[англ.] (который является частным случаем стека[англ.]), представляющего собой структуру на категории пучков заданного типа. Джербы являются геометрическими объектами, классифицируемыми группами когомологий , где  — пучок групп на . Понятие особенно важно в случае неабелевых групп .

Литература

править
  • Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.