Открыть главное меню

Произведение (теория категорий)

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

ОпределениеПравить

Пусть задано   — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории  . Объект   категории   вместе с семейством морфизмов   является произведением семейства объектов  , если для любого объекта   и любого семейства морфизмов   существует единственный морфизм  , для которого следующая диаграмма:

коммутативна для каждого   (то есть  ). Морфизмы   называются каноническими проекциями.

Приведенное определение равносильно следующему:

Объект   вместе с семейством проекций   является произведением семейства объектов   тогда и только тогда, когда для любого объекта   отображение

 

биективно.

Произведение двух объектов обычно обозначают  , при этом диаграмма принимает вид

Морфизм   при этом иногда обозначается  .

Единственность результата операции   можно альтернативно выразить как равенство  , верное для любых  .[1]

ПримерыПравить

  • В категории множеств категорное произведение совпадает с декартовым.
  • В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а топология определяется как произведение их топологий.
  • В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение.
  • В категории проективных многообразий категорнное произведение можно задать при помощи вложения Сегре.
  • Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, в которой морфизм из   в   существует тогда и только тогда (по определению), когда   (причём между двумя объектами не может быть более одного морфизма). При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.

СвойстваПравить

  • Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
  • Коммутативность:  
  • Ассоциативность:  
  • Если в категории существует терминальный объект  , то  
  • Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.

ДистрибутивностьПравить

В общем случае существует канонический морфизм  , где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Свойство универсальности для   гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

Матрица преобразованийПравить

Любой морфизм

 

порождает множество морфизмов

 

задаваемых по правилу   и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования   задаёт единственный соответствующий морфизм   Если в категории существует нулевой объект   то для любых двух объектов   существует канонический нулевой морфизм:   В этом случае матрица преобразования  , задаваемая по правилу

 

называется единичной матрицей.

Пример

В категории конечномерных векторных пространств   копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.

ЛитератураПравить