Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория C, снабженная бифунктором

⊗ : C × CC,

который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма, а также объектом I, который является единицей для также с точностью до естественного изоморфизма. Также на естественные изоморфизмы накладываются некоторые дополнительные условия. В моноидальной категории можно дать определение моноида, обобщающее свойства моноида из общей алгебры. На самом деле, обычные моноиды — это моноиды в категории множеств с прямым произведением в качестве моноидального произведения.

Обычное тензорное произведение делает векторные пространства, абелевы группы и модули моноидальными категориями, произвольные моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих примеров.

Определение

править

Формально, моноидальная категория — это категория  , снабжённая:

  • бифунктором  , называемым как тензорное произведение или моноидальное произведение,
  • объектом  , называемым единицей или тождественным объектом,
  • тремя естественными изоморфизмами, выражающими тот факт, что операция тензорного произведения
    • ассоциативна: существует естественный изоморфизм (так называемый ассоциатор)  ,  ,
    •   является единицей: существуют два естественных изоморфизма   и  ,   и  .

На эти естественные изоморфизмы наложены дополнительные условия:

  • для всех  ,  ,  ,   в   следующая пятиугольная диаграмма коммутативна:

 

  • для всех   и   треугольная диаграмма коммутативна:
 

Из этих условий следует, что любая диаграмма этого типа (то есть диаграмма, стрелки которой составлены из  ,  ,  , единицы и тензорного произведения) коммутативна: это составляет предмет теоремы о когерентности Маклейна. Например, несколькими применениями ассоциатора легко показать, что   и   изоморфны. Ассоциаторы можно применять в разном порядке (например, на диаграмме приведено два способа для N=4), но из теоремы о когерентности следует, что разные последовательности применений задают одно и то же отображение.

Строго моноидальная категория — это категория, для которой естественные изоморфизмы α, λ, ρ — тождественные.

Примеры

править
  • Любая категория с конечными произведениями моноидальна, с категорным произведением в качестве моноидального произведения и терминальным объектом в качестве единицы. Такую категорию иногда называют декартово моноидальной категорией. Например:
    •   — категория множеств с декартовым произведением и одноэлементным множеством в качестве единицы.
  • Любая категория с конечными копроизведениями также является моноидальной с копроизведением и начальным объектом в качестве единицы.
  • R-Mod, категория модулей над коммутативным кольцом R — моноидальна с тензорным произведением R и кольцом R (понимаемым как модуль над самим собой) в качестве единицы.
  • Категория эндофункторов (функторов в себя) в категории C — строгая моноидальная категория с композицией функторов в качестве операции произведения.

См. также

править

Примечания

править
  • Kelly, G. Max (1964). «On MacLane’s Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc.» — Journal of Algebra 1, 397—402
  • Kelly, G. Max. Basic Concepts of Enriched Category Theory (англ.). — Cambridge University Press, 1982. — (London Mathematical Society Lecture Note Series No. 64).
  • Mac Lane, Saunders (1963). «Natural Associativity and Commutativity». — Rice University Studies 49, 28-46.
  • Маклейн С. Глава 7. Моноиды // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 188—221. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.