Естественное преобразование

В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, потому что оно появляется в большинстве её приложений.

Определение

Пусть $F$ и $G$ — ковариантные функторы из категории $C$ в $D$. Тогда естественное преобразование из $F$ в $G$ сопоставляет каждому объекту $X$ категории $C$ морфизм $\eta _{X}\colon F(X)\to G(X)$ в категории $D$, называемый компонентой $\eta$ в $X$, так, что для любого морфизма $f\colon X\to Y$ диаграмма, изображённая на рисунке ниже, коммутативна. В случае контравариантных функторов $C$ и $D$ определение совершенно аналогично (необходимо только обратить горизонтальные стрелки, учитывая, что их обращает контравариантный морфизм).

Если η — естественное преобразование функтора F в функтор G, мы пишем η : F → G. Также об этом говорят, что семейство морфизмов η_X : F(X) → G(X) естественно по X.

Если для каждого X в C морфизм η_X является изоморфизмом в D, то η называют естественным изоморфизмом (или, иногда, естественной эквивалентностью или изоморфизмом функторов).

Инфраестественное преобразование η из F в G — это просто семейство морфизмов η_X: F(X) → G(X). Натурализатор η, nat(η), — это самая большая подкатегория C, содержащая те объекты C, в ограничении на которые η является естественным преобразованием.

Если η : F → G и ε : G → H — естественные преобразования, мы можем взять их композицию и получить естественное преобразование εη : F → H. Это делается покомпонентно: (εη)_X = ε_Xη_X. Эта операция ассоциативна и имеет единицу, что позволяет образовать категорию функторов.

Примеры

Пример естественного преобразования

Примером естественного преобразования может служить определитель. В самом деле пусть $R$ — коммутативное кольцо, тогда квадратные матрицы порядка $n$ над $R$ образуют моноид по умножению, а $R'$ — мультипликативный моноид самого кольца $R$. Пусть $\mathbf {Mat} _{n}(R)$ будет функтором, переводящим кольцо $R$ в моноид матриц над ним. Поскольку определитель выражается через умножение, сложение и вычитание, которые сохраняются морфизмами кольца $R$ (что означает перестановочность морфизма и этих операций), отображение $\mathbf {Mat} _{n}(R)\rightarrow \det(\mathbf {Mat} _{n}(R))$ будет естественным преобразованием между функтором $\mathbf {Mat} _{n}(R)$ и функтором, тождественно сопоставляющим каждому кольцу $R$ его мультипликативный моноид (оба функтора из категории $\mathbf {CRing}$ коммутативных колец в категорию моноидов $\mathbf {Mon}$).

Пример «неестественного» преобразования

Приведём пример преобразования, не являющегося естественным. Пусть $V$ — n-мерное векторное пространство над полем $\mathbb {F}$. $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ — его базис, $e^{1},e^{2},\dots ,e^{n}$ — базис сопряжённого пространства функционалов $D(V)$, такой что

$e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}$

где $\delta _{j}^{i}$ — символ Кронекера. Все n-мерные пространства изоморфны. Положим

$k(e_{i})=e^{i}$

и распространим $k$ линейно на всё пространство $V$. $k$ отображает тождественный (очевидно ковариантный) функтор $I$ в контравариантный функтор $D$, отображающий векторное пространство в сопряжённое пространство функционалов. Если мы возьмём категорию конечномерных векторных пространств, где морфизмами будут изоморфизмы $f$ (а не любые линейные отображения), то можно заменить контравариантный функтор $D$ ковариантным функтором $D'$ (где $D'(V)=D(V)$, $D'(f)=D(f^{-1})$). Преобразование $k\colon V\to D(V)$ не будет естественным даже в простейшем случае одномерного пространства над полем действительных чисел. В самом деле, пусть V одномерно и изоморфизм $f\colon V\to V$ является умножением на 2:

$f(e_{1})=2e_{1}$

Тогда $D'(f)(k(e_{1}))={1 \over 2}e^{1}$, в то время как $k(f(e_{1}))=2e^{1}$, то есть диаграмма некоммутативна.

Причина этого совершенно ясна — $k$ определяется совершенно случайно выбранным базисом. Если мы возьмём второе сопряжённое пространство $D(D(V))$, то в случае конечномерного пространства существует изоморфизм $h\colon V\to D(D(V))$ (а именно $h(x)(f)=f(x)$ для любого $x\in V$ и функционала $f\in D(V)$). В данном случае изоморфизм $h$ определяет естественное преобразование тождественного функтора $I$ в функтор $D^{2}$.

Полиморфные функции

Другой важнейший пример естественных преобразований — полиморфные функции (имеется в виду параметрический полиморфизм). Примером такого преобразования является функция reverse :: forall a . [a] -> [a], переворачивающая список элементов произвольного типа. В данном случае h(T) — это reverse_T :: [T] -> [T]; а функторы F и G — это List.

Сформулировать этот факт можно так: forall f :: a -> b : map f . reverse_a = reverse_b . map f. Это — одна из так называемых «бесплатных теорем».

Естественность всех параметрически полиморфных функций — это следствие теоремы Рейнольдса.

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии — М.: Мир, 1976.
• Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1966.
• Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
• Wadler, Philip — Theorems for free!