Открыть главное меню

Естественное преобразование

В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, поэтому оно появляется в большинстве её приложений.

ОпределениеПравить

Пусть   и   — ковариантные функторы из категории   в  . Тогда естественное преобразование сопоставляет каждому объекту   категории   морфизм   в категории  , называемый компонентой   в  , так, что для любого морфизма   диаграмма, изображённая на рисунке ниже, коммутативна. В случае контравариантных функторов   и   определение совершенно аналогично (необходимо только обратить горизонтальные стрелки, учитывая, что их обращает контравариантный морфизм).

 

Если η — естественное преобразование функтора F в функтор G, мы пишем η : FG. Также об этом говорят, что семейство морфизмов ηX : F(X) → G(X) естественно по X.

Если для каждого X в C морфизм ηX является изоморфизмом в D, то η называют естественным изоморфизмом (или, иногда, естественной эквивалентностью или изоморфизмом функторов).

Инфраестественное преобразование η из F в G — это просто семейство морфизмов ηX: F(X) → G(X). Натуралайзер η, nat(η), — это самая большая подкатегория C, содержащая те объекты C, в ограничении на которые η является естественным преобразованием.

Если η : FG и ε : GH — естественные преобразования, мы можем взять их композицию и получить естественное преобразование εη : FH. Это делается покомпонентно: (εη)X = εXηX. Эта операция ассоциативна и имеет единицу, что позволяет образовать категорию функторов.

ПримерыПравить

Пример естественного преобразованияПравить

Примером естественного преобразования может служить определитель. В самом деле пусть   — коммутативное кольцо, тогда квадратные матрицы порядка   над   образуют моноид по умножению, а   — мультипликативный моноид самого кольца  . Пусть   будет функтором, переводящим кольцо   в моноид матриц над ним. Поскольку определитель выражается через умножение, сложение и вычитание, которые сохраняются морфизмами кольца   (что означает перестановочность морфизма и этих операций), отображение   будет естественным преобразованием между функтором   и функтором, тождественно сопоставляющим каждому кольцу   его мультипликативный моноид (оба функтора из категории   коммутативных колец в категорию моноидов  ).

Пример «неестественного» преобразованияПравить

Приведём пример преобразования, не являющегося естественным. Пусть   — n-мерное векторное пространство над полем  .   — его базис,   — базис сопряжённого пространства функционалов  , такой что

 

где   — символ Кронекера. Все n-мерные пространства изоморфны. Положим

 

и распространим   линейно на всё пространство  .   отображает тождественный (очевидно ковариантный) функтор   в контравариантный функтор  , отображающий векторное пространство в сопряжённое пространство функционалов. Если мы возьмём категорию конечномерных векторных пространств, где морфизмами будут изоморфизмы   (а не любые линейные отображения), то можно заменить контравариантный функтор   ковариантным функтором   (где  ,  ). Преобразование   не будет естественным даже в простейшем случае одномерного пространства над полем действительных чисел. В самом деле, пусть V одномерно и изоморфизм   является умножением на 2:

 

Тогда  , в то время как  , то есть диаграмма некоммутативна.

Причина этого совершенно ясна —   определяется совершенно случайно выбранным базисом. Если мы возьмём второе сопряжённое пространство  , то в случае конечномерного пространства существует изоморфизм   (а именно   для любого   и функционала  ). В данном случае изоморфизм   определяет естественное преобразование тождественного функтора   в функтор  .

Полиморфные функцииПравить

Другой важнейший пример естественных преобразований — полиморфные функции (имеется в виду параметрический полиморфизм). Примером такого преобразования является функция reverse :: forall a . [a] -> [a], переворачивающая список элементов произвольного типа. В данном случае h(T) — это reverseT :: [T] -> [T]; а функторы F и G — это List.

Сформулировать этот факт можно так: forall f :: a -> b : map f . reversea = reverseb . map f. Это — одна из так называемых «бесплатных теорем».

Естественность всех параметрически полиморфных функций — это следствие теоремы Рейнольдса.

ЛитератураПравить

  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии — М.: Мир, 1976.
  • Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1966.
  • Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
  • Wadler, Philip — Theorems for free!