Начальный объект

(перенаправлено с «Терминальный объект»)

Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект категории такой, что для любого объекта существует единственный морфизм .

Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект  — терминальный, если для любого объекта существует единственный морфизм .

Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом.

Пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет. В категории множеств с отмеченной точкой синглетоны являются нулевыми объектами, так же, как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой.

Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если и  — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный.

Терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы , то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы (копределы), сохраняет терминальные (начальные) объекты соответственно.

ПримерыПравить

В категории групп, так же, как и в категориях абелевых групп, модулей над кольцом и векторных пространств существует нулевой объект (в связи с чем и появился термин «нулевой объект»).

В категории колец кольцо целых чисел   является начальным объектом, и нулевое кольцо с   — терминальным объектом. В категории полей не существует начальных и терминальных элементов. Однако в полной подкатегории полей характеристики   имеется начальный объект — поле из   элементов.

В категории всех малых категорий (с функторами как морфизмами) начальный объект — пустая категория, а терминальный — категория   с единственным объектом и морфизмом.

Любое топологическое пространство   можно рассматривать как категорию, объекты которой — открытые множества и между любыми двумя открытыми множествами, такими, что  , существует единственный морфизм. Пустое множество — начальный объект этой категории,   — терминальный. Для такой категория топологического пространства   и произвольной малой категории   все контравариантные функторы из   в   с естественными преобразованиями образуют категорию, называемую категорией предпучков на   с коэффициентами в  . Если   имеет начальный объект  , то постоянный функтор, отображающий   в  , является начальным объектом категории предпучков, двойственное утверждение также верно.

В категории схем спектр   — терминальный объект, и пустая схема — начальный объект.

Начальные и терминальные объекты также можно характеризовать при помощи универсальных стрелок и сопряжённых функторов. Для категории   из единственного объекта   и (единственного) функтора   начальный объект   категории   — это универсальная стрелка из   в  . Функтор, отправляющий   в   — левый сопряженный для  . Соответственно, терминальный объект   категории   — универсальная стрелка из   в  , а функтор, отправляющий   в   — правый сопряженный для  . Обратно, универсальная стрелка из   в функтор   может быть определена как начальный объект в категории запятой  . Двойственно, универсальный морфизм из   в   — терминальный объект в  .

ЛитератураПравить

  • Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.