Категория запятой

Категория запятой — специальная теоретико-категорная конструкция, позволяющая изучать морфизмы не как соотнесения объектов категории друг с другом, а как самостоятельные объекты. Строится как особая категория для произвольной пары функторов в общую категорию, описана Ловером как обобщение категорий объектов и морфизмов. Название «категория запятой» появилось из-за первоначального обозначения Ловера; впоследствии стандартное обозначение изменилось из соображений удобства, но название для конструкции сохранилось.

Общее определение

Категорию запятой $S\downarrow T$ (обозначение Ловера — $(S,T)$) для функторов $S\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {C}}$ и $T\colon {\mathcal {B}}\longrightarrow {\mathcal {C}}$ можно построить следующим образом:

• объекты — все тройки вида $(\alpha ,\beta ,f)$, где $\alpha$ — объект ${\mathcal {A}}$, $\beta$ — объект ${\mathcal {B}}$, и $f\colon S(\alpha )\rightarrow T(\beta )$ — морфизм в ${\mathcal {C}}$,
• морфизмы из $(\alpha ,\beta ,f)$ в $(\alpha ',\beta ',f')$ — все пары $(g,h)$, где $g:\alpha \rightarrow \alpha '$, $h:\beta \rightarrow \beta '$ — морфизмы в ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$ соответственно, такие что следующая диаграмма коммутирует:

${\begin{matrix}S(\alpha )&{\xrightarrow {S(g)}}&S(\alpha ')\\f{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f'\\T(\beta )&{\xrightarrow[{T(h)}]{}}&T(\beta ')\end{matrix}}$

Композиция морфизмов $(g,h)\circ (g',h')$ берётся как $(g\circ g',h\circ h')$, если последнее выражение определено. Тождественный морфизм объекта $(\alpha ,\beta ,f)$ — это $(\mathrm {id} _{\alpha },\mathrm {id} _{\beta })$.

Категории объектов и морфизмов

Категория объектов над заданным объектом $A\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}$ — категория запятой $\mathrm {Id} _{\mathcal {C}}\downarrow 1_{A}$, где $\mathrm {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {C}}$ — тождественный функтор, а $1_{A}\colon {\textbf {1}}\longrightarrow {\mathcal {C}}$ — функтор из категории с одним объектом $*$ и одним морфизмом, заданный как $1(*)=A$. В этом случае используют обозначение ${\mathcal {C}}\downarrow A$. Объекты вида $(\alpha ,*,f)$ — это просто пары $(\alpha ,f)$, где $f\colon \alpha \rightarrow A$. Иногда в этой ситуации $f$ обозначают как $\pi _{\alpha }$. Морфизм из $(B,\pi _{B})$ в $(B',\pi _{B'})$ — это морфизм $g\colon B\rightarrow B'$, замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:

Двойственный случай — категория объектов под $A$ — $1_{A}\downarrow \mathbf {Id} _{\mathcal {C}}$. В этом случае используют обозначение $A\downarrow {\mathcal {C}}$. Объекты — пары $(B,i_{B})$, где $i_{B}:A\rightarrow B$. Морфизм между $(B,i_{B})$ и $(B',i_{B'})$ — отображение $h:B\rightarrow B'$, замыкающее следующую диаграмму до коммутативной:

Ещё один частный случай — категория морфизмов — категория запятой $\mathrm {Id} _{\mathcal {C}}\downarrow \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}$, её объекты — морфизмы ${\mathcal {C}}$, а морфизмы — коммутативные квадраты в ${\mathcal {C}}$.

Примеры

Категория множеств с отмеченной точкой — это категория запятой $\bullet \downarrow \mathrm {Id} _{\mathbf {Set} }$, где $\bullet$ — функтор, выбирающий некоторый синглетон и $\mathbf {Id} _{\mathbf {Set} }$ — тождественный функтор для категории множеств. Сходным образом можно образовать категорию топологических пространств с отмеченной точкой $\bullet \downarrow \mathrm {Id} _{\mathbf {Top} }$.

Категория графов — это категория запятой $\mathrm {Id} _{\mathbf {Set} }\downarrow D$, где $D\colon \mathbf {Set} \longrightarrow \mathbf {Set}$ — функтор, отправляющий $s$ в $s\times s$. Объекты вида $(a,b,f)$ состоят из двух множеств и функции; $a$ — индексирующее множество для рёбер, $b$ — множество вершин, тогда $f\colon a\rightarrow (b\times b)$ выбирает пару элементов $b$ для каждого $a$, то есть $f$ выбирает определённое ребро из множества возможных рёбер $b\times b$. Морфизмы в этой категории — функции на индексирующем множестве и множестве вершин, такие что образы вершин, соответствовавших данному ребру, будут соответствовать его образу.

Забывающие функторы

Для любой категории запятой определены два забывающих функтора из неё — функтор прообраза $S\downarrow T\to {\mathcal {A}}$, который отображает:

• объекты: $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \alpha$,
• морфизмы: $(g,h)\mapsto g$,

и функтор образа $S\downarrow T\to {\mathcal {B}}$, который отображает:

• объекты: $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \beta$,
• морфизмы: $(g,h)\mapsto h$.

Сопряжения

Функторы $F\colon {\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {D}}$ и $G\colon {\mathcal {D}}\longrightarrow {\mathcal {C}}$ сопряжены тогда и только тогда, когда категории запятой $F\downarrow \mathrm {Id} _{\mathcal {D}})$ и $(\mathrm {Id} _{\mathcal {C}}\downarrow G)$ изоморфны, причём эквивалентные элементы проектируются на один и тот же элемент ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$. Это позволяет описать сопряжённые функторы, не используя множества, и это было главной причиной появления конструкции категорий запятой.

Естественные преобразования

Если образы функторов $S$ и $T$ совпадают, то диаграмма, определяющая морфизм в $S\downarrow T$ с $\alpha =\beta ,\alpha '=\beta ',g=h$ совпадает с диаграммой, определяющей естественное преобразование $S\to T$. Различие между двумя определениями состоит в том, что естественное преобразование — это определённый класс морфизмов вида $S(\alpha )\to T(\alpha )$, тогда как объекты категории запятой — это все морфизмы такого вида. Функтор в категорию запятой может выбрать конкретное семейство морфизмов. И действительно, естественному преобразованию $\eta :S\to T$, где $S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}$ соответствует функтор ${\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)$ который отображает объект $\alpha$ в $(\alpha ,\alpha ,\eta _{\alpha })$ и морфизмы $g$ в $(g,g)$. Это задаёт биекцию между естественными преобразованиями $S\to T$ и функторами ${\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)$, которые являются левыми обратными обоих забывающих функторов из $S\downarrow T$.

Литература

• Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.