Моноидальный функтор

В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, сохраняюющие моноидальную структуру, то есть умножение и тождественный элемент.

Определение

Пусть $({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})$ и $({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})$ — моноидальные категории. Моноидальный функтор из ${\mathcal {C}}$ в ${\mathcal {D}}$ состоит из функтора $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$, естественного преобразования

$\phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)$

и морфизма

$\phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}$,

называемых структурными морфизмами, таких что для любых $A$, $B$, $C$ в ${\mathcal {C}}$ диаграммы

   и   

коммутативны в категории ${\mathcal {D}}$. Здесь используются стандартные обозначения $\alpha ,\rho ,\lambda$ для моноидальной структуры категорий ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {D}}$.

Сильно моноидальный функтор — это моноидальный функтор, такой что структурные морфизмы $\phi _{A,B},\phi$ обратимы.

Строго моноидальный функтор — это моноидальный функтор, структурные морфизмы которого тождественны.

Пример

Забывающий функтор $U:(\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{*\})$ из категории абелевых групп в категорию множеств. Здесь структурный морфизм $\phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)$ — это сюръекция, индуцированная стандартным отображением $A\times B\to A\otimes B\to$; отображение $\phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z}$ переводит синглетон * в 1.

Примечания

• Kelly, G. Max (1974), «Doctrinal adjunction», Lecture Notes in Mathematics, 420, 257—280