Эквивалентность категорий

Эквивале́нтность катего́рий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.

ОпределениеПравить

Для двух категорий C и D задана их эквивалентность, если задан функтор F : CD, функтор G : DC, и два естественных изоморфизма ε: FGID и η : ICGF. Здесь IC: CC и ID: DD — тождественные функторы на C и D соответственно. Если F и G — контравариантные функторы, это определяет двойственность категорий.

Эквивалентные формулировкиПравить

Можно показать, что функтор F : CD задаёт эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он:

  • вполне унивалентен и
  • плотен, то есть в классе изоморфизма любого элемента d категории D существует объект, имеющий прообраз в C под действием F.

Это — наиболее часто применяемый критерий, так как он не требует явно сконструировать «обратный» функтор и два естественных преобразования. С другой стороны, хотя приведенное выше свойство гарантирует существование эквивалентности, часть данных теряется, так как иногда эквивалентность можно провести разными способами. Поэтому функтор F с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий.

Ещё одна формулировка использует понятие сопряжённых функторов: F и G задают эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда они оба вполне унивалентные и являются сопряжёнными.

ПримерыПравить

  • Между категорией   из одного объекта   и одного морфизма   и категорией   из двух объектов  ,   и четырёх морфизмов: двух тождественных  ,   и двух изоморфизма  ,   можно установить эквивалентность, например взять  , отправляющий   в   и  , отправляющий всё   в  . Однако, например, категория   не эквивалентна категории из двух объектов и двух тождественных морфизмов.
  • Пусть категория   состоит из одного объекта   и двух морфизмов  , где  . Тогда   задаёт естественный изоморфизм   с собой (нетривиальный, так как он действует на морфизмах не тождественным образом).
  • Эквивалентны категория   конечномерных действительных векторных пространств и категория   (объекты — натуральные числа, морфизмы — матрицы соответствующей размерности): функтор   сопоставляет векторному пространству его размерность (что соответствует выбору в каждом пространстве базиса).
  • Одна из центральных тем алгебраической геометрии — двойственность категорий аффинных схем и коммутативных колец. Соответствующий функтор отправляет кольцо в его спектр — схему, образованную простыми идеалами.

СвойстваПравить

При эквивалентности категорий сохраняются все «категорные» свойства: например, свойство быть начальным объектом, мономорфизмом, пределом или свойство категории быть топосом.

Если F : CD — эквивалентность категорий и G1, G2 «обратные» к F, то G1 и G2 естественно изоморфны.

ЛитератураПравить

  • Эквивалентность категорий — статья из Математической энциклопедии
  • Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.