Эквивалентность категорий

Эквивале́нтность катего́рий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.

Определение

Для двух категорий C и D задана их эквивалентность, если задан функтор F : C → D, функтор G : D → C, и два естественных изоморфизма ε: FG→I_D и η : I_C→GF. Здесь I_C: C→C и I_D: D→D — тождественные функторы на C и D соответственно. Если F и G — контравариантные функторы, это определяет двойственность категорий.

Эквивалентные формулировки

Можно показать, что функтор F : C → D задаёт эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он:

• вполне унивалентен и
• плотен, то есть в классе изоморфизма любого элемента d категории D существует объект, имеющий прообраз в C под действием F.

Это — наиболее часто применяемый критерий, так как он не требует явно сконструировать «обратный» функтор и два естественных преобразования. С другой стороны, хотя приведенное выше свойство гарантирует существование эквивалентности, часть данных теряется, так как иногда эквивалентность можно провести разными способами. Поэтому функтор F с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий.

Ещё одна формулировка использует понятие сопряжённых функторов: F и G задают эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда они оба вполне унивалентные и являются сопряжёнными.

Примеры

• Между категорией $C$ из одного объекта $c$ и одного морфизма $1_{c}$ и категорией $D$ из двух объектов $d_{1}$, $d_{2}$ и четырёх морфизмов: двух тождественных $1_{d_{1}}$, $1_{d_{2}}$ и двух изоморфизма $\alpha \colon d_{1}\to d_{2}$, $\beta \colon d_{2}\to d_{1}$ можно установить эквивалентность, например взять $F$, отправляющий $c$ в $d_{1}$ и $G$, отправляющий всё $D$ в $c$. Однако, например, категория $C$ не эквивалентна категории из двух объектов и двух тождественных морфизмов.
• Пусть категория $C$ состоит из одного объекта $c$ и двух морфизмов $1_{c},f\colon c\to c$, где $f\circ f=1$. Тогда $f$ задаёт естественный изоморфизм $\mathbf {I} _{C}$ с собой (нетривиальный, так как он действует на морфизмах не тождественным образом).
• Эквивалентны категория $C$ конечномерных действительных векторных пространств и категория $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ (объекты — натуральные числа, морфизмы — матрицы соответствующей размерности): функтор $F\colon C\to D$ сопоставляет векторному пространству его размерность (что соответствует выбору в каждом пространстве базиса).
• Одна из центральных тем алгебраической геометрии — двойственность категорий аффинных схем и коммутативных колец. Соответствующий функтор отправляет кольцо в его спектр — схему, образованную простыми идеалами.

Свойства

При эквивалентности категорий сохраняются все «категорные» свойства: например, свойство быть начальным объектом, мономорфизмом, пределом или свойство категории быть топосом.

Если F : C → D — эквивалентность категорий и G₁, G₂ «обратные» к F, то G₁ и G₂ естественно изоморфны.

Литература

• Эквивалентность категорий — статья из Математической энциклопедии
• Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.