Дифференциал (дифференциальная геометрия)

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Обозначения

Обычно дифференциал $f$ обозначается $df$. Некоторые авторы предпочитают обозначать $\operatorname {d} f$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке $x$ обозначается $d_{x}f$, а иногда $df_{x}$ или $df[x]$. ($d_{x}f$ есть линейная функция на касательном пространстве в точке $x$.)

Если $v$ есть касательный вектор в точке $x$, то значение дифференциала на $v$ обычно обозначается $df(v)$, в этом обозначении $x$ излишне, но обозначения $d_{x}f(v)$, $df_{x}(v)$ и $df[x](v)$ также правомерны.

Используется так же обозначение $f_{*}$; последнее связано с тем, что дифференциал $f\colon M\to N$ является естественным поднятием $f$ на касательные расслоения к многообразиям $M$ и $N$.

Определения

Для вещественнозначных функций

Пусть $M$ — гладкое многообразие и $f\colon M\to \mathbb {R}$ гладкая функция. Дифференциал $f$ представляет собой 1-форму на $M$, обычно обозначается $df$ и определяется соотношением

$df(X)=d_{p}f(X)=Xf,$

где $Xf$ обозначает производную $f$ по направлению касательного вектора $X$ в точке $p\in M$.

Для отображений гладких многообразий

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие $F\colon M\to N$ есть отображение между их касательными расслоениями, $dF\colon TM\to TN$, такое что для любой гладкой функции $g\colon N\to \mathbb {R}$ имеем

$[dF(X)]g=X(g\circ F),$

где $Xf$ обозначает производную $f$ по направлению $X$. (В левой части равенства берётся производная в $N$ функции $g$ по $dF(X)$; в правой — в $M$ функции $g\circ F$ по $X$).

Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.

Связанные определения

• Точка $x$ многообразия $M$ называется критической точкой отображения $f:M\to N$, если дифференциал $d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N$ не является сюръективным (см. также теорема Сарда)
  • Например, критические точки функций $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — в точности стационарные точки. Для функций $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ это точки, в которых матрица дифференциала вырождается.
  • В этом случае $f(x)$ называется критическим значением $f$.
  • Точка $y\in N$ называется регулярной, если она не является критической.
• Гладкое отображение $F\colon M\to N$ называется субмерсией, если для любой точки $x\in M$, дифференциал $d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N$ сюръективен.
• Гладкое отображение $F\colon M\to N$ называется гладким погружением, если для любой точки $x\in M$, дифференциал $d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N$ инъективен.

Свойства

• Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

  $d(F\circ G)=dF\circ dG$ или $d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G$

Примеры

• Пусть в открытом множестве $\Omega \subset \mathbb {R}$ задана гладкая функция $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$. Тогда $df=f'\,dx$, где $f'$ обозначает производную $f$, а $dx$ является постоянной формой, определяемой $dx(V)=V$.
• Пусть в открытом множестве $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ задана гладкая функция $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$. Тогда $df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}$. Форма $dx_{i}$ может быть определена соотношением $dx_{i}(V)=v_{i}$, для вектора $V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})$.
• Пусть в открытом множестве $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ задано гладкое отображение $F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}$. Тогда

  $d_{x}F(v)=J(x)v,$

где $J(x)$ есть матрица Якоби отображения $F$ в точке $x$.

См. также

• Кодифференциал