Дифференциал (дифференциальная геометрия)

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

ОбозначенияПравить

Обычно дифференциал   обозначается  . Некоторые авторы предпочитают обозначать   шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке   обозначается  , а иногда   или  . (  есть линейная функция на касательном пространстве в точке  .)

Если   есть касательный вектор в точке  , то значение дифференциала на   обычно обозначается  , в этом обозначении   излишне, но обозначения  ,   и   также правомерны.

Используется так же обозначение  ; последнее связано с тем, что дифференциал   является естественным поднятием   на касательные расслоения к многообразиям   и  .

ОпределенияПравить

Для вещественнозначных функцийПравить

Пусть   — гладкое многообразие и   гладкая функция. Дифференциал   представляет собой 1-форму на  , обычно обозначается   и определяется соотношением

 

где   обозначает производную   по направлению касательного вектора   в точке  .

Для отображений гладких многообразийПравить

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие   есть отображение между их касательными расслоениями,  , такое что для любой гладкой функции   имеем

 

где   обозначает производную   по направлению  . (В левой части равенства берётся производная в   функции   по  ; в правой — в   функции   по  ).

Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.

Связанные определенияПравить

  • Точка   многообразия   называется критической точкой отображения  , если дифференциал   не является сюръективным (см. также теорема Сарда)
    • Например, критические точки функций   — в точности стационарные точки. Для функций   это точки, в которых матрица дифференциала вырождается.
    • В этом случае   называется критическим значением  .
    • Точка   называется регулярной, если она не является критической.
  • Гладкое отображение   называется субмерсией, если для любой точки  , дифференциал   сюръективен.
  • Гладкое отображение   называется гладким погружением, если для любой точки  , дифференциал   инъективен.

СвойстваПравить

  • Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:
      или  

ПримерыПравить

  • Пусть в открытом множестве   задана гладкая функция  . Тогда  , где   обозначает производную  , а   является постоянной формой, определяемой  .
  • Пусть в открытом множестве   задана гладкая функция  . Тогда  . Форма   может быть определена соотношением  , для вектора  .
  • Пусть в открытом множестве   задано гладкое отображение  . Тогда
     
где   есть матрица Якоби отображения   в точке  .

См. такжеПравить