Тензорное произведение алгебр

Тензорное произведение алгебр — конструкция, дающая новую алгебру по двум данным алгебрам над коммутативным кольцом. Наиболее распространён случай, когда кольцо является полем.

ОпределениеПравить

Пусть R — коммутативное кольцо, а A и BR-алгебры. Поскольку A и B можно рассматривать как R-модули, их тензорное произведение

 

также является R-модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на простых элементах вида a ⊗ b следующим образом [1] [2]

 

и затем продолжив эту операцию по линейности на всю AR B. Полученное кольцо является R-алгеброй, ассоциативной с единичным элементом, задаваемым 1A ⊗ 1B [3], где 1 A и 1 B — единичные элементы A и B. Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.

Тензорное произведение превращает категорию R-алгебр в симметричную моноидальную категорию.

СвойстваПравить

Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в A ⊗RB, заданые следующим образом[4]:

 
 

Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R-алгебр.

При этом тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R-алгебр. Здесь копроизведение дается более общим свободным произведением алгебр. Тем не менее тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:

 

где [-, -] обозначает коммутатор. Естественный изоморфизм задается идентификацией морфизма   в левой части с парой морфизмов   с правой стороны, где   и аналогично  .

ПримечанияПравить

  1. Kassel (1995), [[1] в «Книгах Google» p. 32].
  2. Lang, 2002, pp. 629-630.
  3. Kassel (1995), [[2] в «Книгах Google» p. 32].
  4. Kassel (1995), [[3] в «Книгах Google» p. 32].

ЛитератураПравить