Альтернативная алгебра
Альтернативная алгебра — алгебра над полем, умножение в которой является альтернативным[1]. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и неассоциативные альтернативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, уже не обладают свойством альтернативности.
Связь с алгеброй Мальцева
правитьДля альтернативной алгебры и алгебры Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта. Имеется следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгебрами Мальцева: замена умножения g(A,B) в альтернативной алгебре M операцией коммутатора [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру Мальцева .
Ассоциатор
правитьС использованием ассоциатора
![{\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef1dd4cbc4e3e9a80e2ec6866d1294ef04efe97)
определяющие альтернативную алгебру тождества примут вид[2]
![{\displaystyle [x,x,y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a1374960ee08cdee5d041c68cab56a4997b5ea)
![{\displaystyle [y,x,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856eb0c9a06c9acba9f595cbf7d89a494e753918)
для любых элементов и Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что
![{\displaystyle [x,y,z]+[y,x,z]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46c4174c40b512f80e585cd9a5b199e49ff9954)
![{\displaystyle [x,y,z]+[x,z,y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bfd67742634b472c30237b7d7c159eb5cbdf8d8)
Таким образом, в альтернативной алгебре ассоциатор является альтернативной операцией:
![{\displaystyle [x,y,z]=\mathrm {sgn} \,\sigma [\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0099d89046d5801047a1a8186681d752286a2087)
где — перестановка элементов — чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.
Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:
откуда сразу следует третье из тождеств.
Примечания
правитьЛитература
править- Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
- Schafer, Richard D. An Introduction to Nonassociative Algebras (англ.). — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5.
См. также
правитьЭто заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |