Алгебра Мальцева

Алгебра Мальцева — неассоциативная алгебра $M$ над полем $F$, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. условию антисимметричности:

   $g(A,B)=-g(B,A)$

   для всех $A,B\in M$.

2. тождеству Мальцева:

$J(A_{1},A_{2},g(A_{1},A_{3}))=g(J(A_{1},A_{2},A_{3}),A_{1})$ для всех $A_{k}\in M$, где $k=1,2,\dots ,6$, и $J(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).$

1. условию билинейности:

$g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)$

для всех $A,B,C\in M$ и $a,b\in F$.

Алгебра Мальцева была введена в 1955 году советским математиком Анатолием Ивановичем Мальцевым.

Существует следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгеброй Мальцева. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру $M^{(-)}$. При этом, если M является альтернативной алгеброй, то $M^{(-)}$ будет алгеброй Мальцева. (Другими словами, для алгебр Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта.) Алгебра Мальцева является одним из обобщений алгебры Ли, которая является частным примером алгебры Мальцева.

Для алгебр Мальцева имеет место теорема, аналогичная классической теореме о связи алгебры Ли и группы Ли. Касательная алгебра локальной аналитической лупы Муфанг является алгеброй Мальцева. Верно также и обратное утверждение: любая конечномерная алгебра Мальцева $M$ над полным нормированным полем $F$ характеристики 0 является касательной алгеброй некоторой локальной аналитической лупы Муфанг.

Литература

• Мальцев А. И. Математический сборник. — 1955. — Том 36. — № 3. — С. 569-76.
• Мальцев А. И. Избранные труды. Том 1. Классическая алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 c.
• Mal’tsev A.I., Algebraic systems. — Springer, 1973.
• Filippov V.T., «Mal’tsev algebra», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4
• Koulibaly A.A. «Contributions a la theorie des algebres de Mal’cev» Montpellier : Université des Sciences et Techniques du Languedoc, 1984. Архивная копия от 21 марта 2019 на Wayback Machine
• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.

Ссылки

• Алгебра Мальцева — статья из Математической энциклопедии
• Филиппов В.Т., «Первичные алгебры Мальцева», Матем. заметки, 31:5 (1982), 669—678

См. также

• Алгебра Ли
• Альтернативная алгебра