Алгебра множеств

(перенаправлено с «Алгебра (теория множеств)»)

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества , замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

ОпределениеПравить

Семейство   подмножеств множества   (здесь   — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

  1.  
  2. Если множество  , то и его дополнение  
  3. Объединение двух множеств   также принадлежит  

ЗамечанияПравить

  • По определению, если алгебра содержит множество  , то она содержит и его дополнение. Объединением   с его дополнением является исходное множество  . Дополнением к множеству   является пустое множество. Это означает, что множество   и пустое множество содержится в алгебре по определению.
  • В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
  • Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
  • Если исходное множество   является пространством элементарных событий, то алгебра   называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

Алгебра событийПравить

Алгебра событийтеории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий  , элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств, алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых с конечным количеством множеств. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно теоретико-множественных операций, производимых со счётным количеством множеств, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

Событие   или  , заключающееся в том, что из двух событий   и   происходит по крайней мере одно, называется суммой событий   и  .

Вероятностное пространство — это алгебра событий с заданной функцией вероятности  , то есть сигма-аддитивной конечной мерой, областью определения которой является алгебра событий, где  .

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определённой на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить