Росток объекта на топологическом пространстве выражает локальные свойства объекта. В некотором смысле можно сказать, что это новый объект, который перенимает лишь локальные свойства объекта его породившего (чаще всего в роли таких объектов выступают отображения). Очевидно, что различные функции могут задавать один и тот же росток. В таком случае все локальные свойства (непрерывность, гладкость и т. п.) у таких функций совпадают и достаточно рассматривать свойства не самих функций, а лишь их ростков. Важный момент заключается в том, чтобы ввести понятие локальности, поэтому ростки рассматривают для объектов на топологическом пространстве.

Формальное определение

править

Пусть задана точка   топологического пространства   и два отображения   в любое множество  . Тогда говорят, что   и   задают один и тот же росток в  , если есть окрестность   точки  , такая что ограничение   и   на   совпадают. То есть,

 

(что означает  ).

Аналогично говорят о двух подмножества  : они определяют один и тот же росток в  , если существует окрестность  , такая что:

 

Очевидно, что задание одинаковых ростков в точке   есть отношение эквивалентности (на отображениях или множествах соответственно), и эти классы эквивалентности называются ростками (ростками отображения или ростками множества). Отношение эквивалентности обозначают обычно   или  .

Росток данного отображения   в точке   обычно обозначают  . Аналогично, росток, задаваемый множеством  , обозначают  .

 

Росток, отображающий точку   в точку   пишут  , таким образом   является целым классом эквивалентности отображений, и под   принято понимать любое репрезентативное отображение. Можно также отметить, что два множества эквивалентны (задают один и тот же росток множеств), если эквивалентны их характеристические функции (относительно ростков отображений):

 

Литература

править
  • Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. Введение в h-принцип. — М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2004. — ISBN 5-94057-126-3.