Росток (математика)

Росток объекта на топологическом пространстве выражает локальные свойства объекта. В некотором смысле можно сказать, что это новый объект, который перенимает лишь локальные свойства объекта его породившего (чаще всего в роли таких объектов выступают отображения). Очевидно, что различные функции могут задавать один и тот же росток. В таком случае все локальные свойства (непрерывность, гладкость и т. п.) у таких функций совпадают и достаточно рассматривать свойства не самих функций, а лишь их ростков. Важный момент заключается в том, чтобы ввести понятие локальности, поэтому ростки рассматривают для объектов на топологическом пространстве.

Формальное определение править

Пусть задана точка $x$ топологического пространства $X$ и два отображения $f,\;g:X\to Y$ в любое множество $Y$ . Тогда говорят, что $f$ и $g$ задают один и тот же росток в $x$ , если есть окрестность $U$ точки $x$ , такая что ограничение $f$ и $g$ на $U$ совпадают. То есть,

f|_{U}=g|_{U}

(что означает $\forall x'\in U,\;f(x')=g(x')$ ).

Аналогично говорят о двух подмножества $S,\;T\subset X$ : они определяют один и тот же росток в $x$ , если существует окрестность $U$ , такая что:

S\cap U=T\cap U.

Очевидно, что задание одинаковых ростков в точке $x$ есть отношение эквивалентности (на отображениях или множествах соответственно), и эти классы эквивалентности называются ростками (ростками отображения или ростками множества). Отношение эквивалентности обозначают обычно $f\sim _{x}g$ или $S\sim _{x}T$ .

Росток данного отображения $f$ в точке $x$ обычно обозначают $[f]_{x}$ . Аналогично, росток, задаваемый множеством $S$ , обозначают $[S]_{x}$ .

[f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.

Росток, отображающий точку $x\in X$ в точку $y\in Y$ пишут $(X,\;x)\to (Y,\;y)$ , таким образом $f$ является целым классом эквивалентности отображений, и под $f$ принято понимать любое репрезентативное отображение. Можно также отметить, что два множества эквивалентны (задают один и тот же росток множеств), если эквивалентны их характеристические функции (относительно ростков отображений):

S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.

Литература править

Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. Введение в h-принцип. — М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2004. — ISBN 5-94057-126-3.