Росток (математика)
Росток объекта на топологическом пространстве выражает локальные свойства объекта. В некотором смысле можно сказать, что это новый объект, который перенимает лишь локальные свойства объекта его породившего (чаще всего в роли таких объектов выступают отображения). Очевидно, что различные функции могут задавать один и тот же росток. В таком случае все локальные свойства (непрерывность, гладкость и т. п.) у таких функций совпадают и достаточно рассматривать свойства не самих функций, а лишь их ростков. Важный момент заключается в том, чтобы ввести понятие локальности, поэтому ростки рассматривают для объектов на топологическом пространстве.
Формальное определение
правитьПусть задана точка топологического пространства и два отображения в любое множество . Тогда говорят, что и задают один и тот же росток в , если есть окрестность точки , такая что ограничение и на совпадают. То есть,
(что означает ).
Аналогично говорят о двух подмножества : они определяют один и тот же росток в , если существует окрестность , такая что:
Очевидно, что задание одинаковых ростков в точке есть отношение эквивалентности (на отображениях или множествах соответственно), и эти классы эквивалентности называются ростками (ростками отображения или ростками множества). Отношение эквивалентности обозначают обычно или .
Росток данного отображения в точке обычно обозначают . Аналогично, росток, задаваемый множеством , обозначают .
Росток, отображающий точку в точку пишут , таким образом является целым классом эквивалентности отображений, и под принято понимать любое репрезентативное отображение. Можно также отметить, что два множества эквивалентны (задают один и тот же росток множеств), если эквивалентны их характеристические функции (относительно ростков отображений):
Литература
править- Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. Введение в h-принцип. — М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2004. — ISBN 5-94057-126-3.
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|