Открыть главное меню

В математике для последовательности чисел бесконечное произведение [1]

определяется как предел частичных произведений при . Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм.

Если все числа положительны, то можно применить операцию логарифмирования. Тогда исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости числового ряда.

CходимостьПравить

Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство  . Следовательно, логарифм   определён для всех  , за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость. Исключая из последовательности   это конечное число членов, получим равенство:

 

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого    , обозначим  , тогда   и  , откуда следует неравенство:

 

которое показывает, что бесконечное произведение   сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма  .

ПримерыПравить

Известные примеры бесконечных произведений, формулы для числа  , открытые соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом:

 ;
 .

Тождество Эйлера для дзета-функции

  ,

где произведение берётся по всем простым числам  . Это произведение сходится при  .

Представление функции в виде бесконечного произведенияПравить

В комплексном анализе известно, что синус и косинус могут быть разложены в бесконечное произведение многочленов

 
 

Эти разложения являются следствием общей теоремы о том, что любая целая функция  , имеющая не более чем счётное количество нулей  , где точка 0 — нуль порядка  , может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

 ,

где   — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа   подобраны таким образом, чтобы ряд   сходился. При   соответственная множителю номер   экспонента опускается (считается равной  ).

ПримечанияПравить

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — С. 350—364.

СсылкиПравить