Бесконечное произведение

В математике для последовательности чисел $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ бесконечное произведение

$\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\dots$

определяется как предел частичных произведений $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ при $n\to \infty$. Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм.

Если все числа $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ положительны, то можно применить операцию логарифмирования. Тогда исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости числового ряда.

Cходимость

Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство $\lim _{n\to \infty }a_{n}=1$. Следовательно, логарифм $\ln a_{n}$ определён для всех $n$, за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость. Исключая из последовательности $\{a_{n}\}$ это конечное число членов, получим равенство:

$\ln \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln a_{n},$

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого $n$ $a_{n}\geqslant 1$, обозначим $p_{n}=a_{n}-1$, тогда $a_{n}=p_{n}+1$ и $p_{n}\geqslant 0$, откуда следует неравенство:

$1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leqslant \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leqslant \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)$

которое показывает, что бесконечное произведение $\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма $\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}$.

Примеры

Известные примеры бесконечных произведений, формулы для числа $\pi$, открытые соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$;

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)$.

Тождество Эйлера для дзета-функции

$\zeta (x)={\frac {1}{1-2^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-x}}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-x}}}$ ,

где произведение берётся по всем простым числам $\displaystyle p$. Это произведение сходится при $x>1$.

Представление функции в виде бесконечного произведения

Основная статья: Теорема Вейерштрасса о целых функциях

В комплексном анализе известно, что синус и косинус могут быть разложены в бесконечное произведение многочленов

$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$

$\cos \pi z=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\right)$

Эти разложения являются следствием общей теоремы о том, что любая целая функция $f$, имеющая не более чем счётное количество нулей $\{0\}\cup \{a_{n}\}\to \infty$, где точка 0 — нуль порядка $\lambda$, может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

$f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)$,

где $h$ — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа $p_{n}$ подобраны таким образом, чтобы ряд $\sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}+1}$ сходился. При $p_{n}=0$ соответственная множителю номер $n$ экспонента опускается (считается равной $\exp(0)=1$).

Ссылки

• Infinite products from Wolfram Math World