Открыть главное меню

Уравнение четвёртой степени

График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками.

Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).

Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум.

Теорема Виета для уравнения четвёртой степениПравить

Корни уравнения четвёртой степени   связаны с коэффициентами   следующим образом:

 
 
 
 

ИсторияПравить

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»[2].

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.[3]

РешенияПравить

Через резольвентуПравить

Решение уравнения четвёртой степени

 

сводится к решению кубической резольвенты

 

Корни резольвенты   связаны с корнями исходного уравнения   (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

 
 
 

Корни резольвенты могут быть решены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между   и   вместе с исходным уравнением дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — ЭйлераПравить

В уравнении четвёртой степени

 

сделаем подстановку  , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

 

где

 
 
 

Корни   такого уравнения равны одному из следующих выражений:

     

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

 

причём   — это корни кубического уравнения

 

Решение ФеррариПравить

Основная статья: Метод Феррари

Решение уравнения четвёртой степени вида   может быть найдено по методу Феррари. Если   — произвольный корень кубического уравнения

  (2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

 

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнениеПравить

Биквадратное уравнение[4] — уравнение четвёртой степени вида  , где   — заданные комплексные числа и  . Подстановкой   оно сводится к квадратному уравнению относительно  .

Четыре его корня находятся по формуле

 

Возвратные уравнения четвёртой степениПравить

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для   такого, что  , решение находится приведением к виду:

 ,

После замены   ищется решение квадратного уравнения  , а затем — квадратного уравнения  .

ПримечанияПравить

  1. Ferrari biography
  2. «Великое искусство» (Ars magna, 1545)
  3. Стюарт, Ян. Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.)
  4. В литературе до середины XX века биквадратным также могли называть уравнение четвёртой степени общего вида

ЛитератураПравить

СсылкиПравить