Открыть главное меню

Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0. Предполагается только непрерывность функции f(x). Поиск основывается на теореме о промежуточных значениях.

ОбоснованиеПравить

Алгоритм основан на следующем следствии из теоремы Больцано — Коши:

Пусть непрерывная функция  , тогда, если  , то  .

Таким образом, если мы ищем ноль, то на концах отрезка функция должна быть противоположных знаков. Разделим отрезок пополам и возьмём ту из половинок, на концах которой функция по-прежнему принимает значения противоположных знаков. Если значение функции в серединной точке оказалось искомым нулём, то процесс завершается.

Точность вычислений задаётся одним из двух способов:

  1.   по оси  , что ближе к условию   из описания алгоритма; или
  2.  , по оси  , что может оказаться удобным в некоторых случаях.

Процедуру следует продолжать до достижения заданной точности.

Для поиска произвольного значения достаточно вычесть из значения функции искомое значение и искать ноль получившейся функции.

Описание алгоритмаПравить

Задача заключается в нахождении корней нелинейного уравнения

 

Для начала итераций необходимо знать отрезок   значений  , на концах которого функция принимает значения противоположных знаков.

Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

 

в действительных вычислениях такой способ проверки противоположности знаков при крутых функциях приводит к преждевременному переполнению.

Для устранения переполнения и уменьшения затрат времени, то есть для увеличения быстродействия, на некоторых программно-компьютерных комплексах противоположность знаков значений функции на концах отрезка нужно определять по формуле:

 

так как одна операция сравнения двух знаков двух чисел требует меньшего времени, чем две операции: умножение двух чисел (особенно с плавающей запятой и двойной длины) и сравнение результата с нулём. При данном сравнении, значения функции   в точках   и   можно не вычислять, достаточно вычислить только знаки функции   в этих точках, что требует меньшего машинного времени.

Из непрерывности функции   и условия (2.2) следует, что на отрезке   существует хотя бы один корень уравнения (в случае не монотонной функции   функция имеет несколько корней и метод приводит к нахождению одного из них).

Найдём значение   в середине отрезка:

 

в действительных вычислениях, для уменьшения числа операций, в начале, вне цикла, вычисляют длину отрезка по формуле:

 

а в цикле вычисляют длину очередных новых отрезков по формуле:   и новую середину по формуле:

 

Вычислим значение функции   в середине отрезка  :

  • Если   или, в действительных вычислениях,  , где   — заданная точность по оси  , то корень найден.
  • Иначе   или, в действительных вычислениях,  , то разобьём отрезок   на два равных отрезка:   и  .

Теперь найдём новый отрезок, на котором функция меняет знак:

  • Если значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на левом отрезке,   или  , то, соответственно, корень находится внутри левого отрезка  . Тогда возьмём левый отрезок присвоением  , и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности   по оси  .
  • Иначе значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на правом отрезке,   или  , то, соответственно, корень находится внутри правого отрезка  . Тогда возьмём правый отрезок присвоением  , и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности   по оси  .

За количество итераций   деление пополам осуществляется   раз, поэтому длина конечного отрезка в   раз меньше длины исходного отрезка.

Существует похожий метод, но с критерием останова вычислений   по оси  [1], в этом методе вычисления продолжаются до тех пор, пока, после очередного деления пополам, новый отрезок больше заданной точности по оси  :  . В этом методе отрезок на оси   может достичь заданной величины  , а значения функций   (особенно крутых) на оси   могут очень далеко отстоять от нуля, при пологих же функциях   этот метод приводит к большому числу лишних вычислений.

В дискретных функциях   и   — это номера элементов массива, которые не могут быть дробными, и, в случае второго критерия останова вычислений, разность   не может быть меньше  .

ПсевдокодПравить

Пусть

  • xn — начало отрезка по х;
  • xk — конец отрезка по х;
  • xi — середина отрезка по х;
  • epsy — требуемая точность вычислений по y (заданное приближение интервала [xn; xk] : xk — xn к нулю).

Тогда алгоритм метода бисекции можно записать в псевдокоде следующим образом:

  1. Начало.
  2.     Ввод xn, xk, epsy.
  3.     Если F(xn) = 0, то Вывод (корень уравнения — xn).
  4.     Если F(xk) = 0, то Вывод (корень уравнения — xk).
  5.     Пока xk — xn > epsy повторять:
  6.         dx := (xk — xn)/2
  7.         xi := xn + dx;
  8.         если sign(F(xn)) ≠ sign(F(xi)), то xk := xi;
  9.         иначе xn := xi.
  10.     конец повторять
  11.     Вывод (Найден корень уравнения — xi с точностью по y — epsy).
  12. Конец.

Поиск значения корня монотонной дискретной функцииПравить

Поиск наиболее приближённого к корню значения в монотонной дискретной функции, заданной таблично и записанной в массиве, заключается в разбиении массива пополам (на две части), выборе из двух новых частей той части, в которой значения элементов массива меняют знак путём сравнения знаков срединного элемента массива со знаком граничного значения и повторении алгоритма для половины в которой значения элементов массива меняют знак.

Пусть переменные леваяГраница и праваяГраница содержат, соответственно, левую левГран и правую правГран границы массива, в которой находится приближение к корню. Исследование начинается с разбиения массива пополам (на две части) путём нахождения номера среднего элемента массива середина.

Если знаки значений массива массив[леваяГраница] и массив[середина] противоположны, то приближение к корню ищут в левой половине массива, то есть значением праваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только левая половина массива. Если знаки значений массив[леваяГраница] и массив[середина] одинаковы, то осуществляется переход к поиску приближения к корню в правой половине массива, то есть значением переменной леваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только правая половина массива. Т.о., в результате каждой проверки область поиска сужается вдвое.

Например, если длина массива равна 1023, то после первого сравнения область сужается до 511 элементов, а после второго — до 255. Т.о. для поиска приближения к корню в массиве из 1023 элементов достаточно 10 проходов (итераций).

Псевдокод:

леваяГраница = левГран
праваяГраница = правГран
while (праваяГраница - леваяГраница > 1) {
   длинаОтрезка = правГран - левГран
   половинаОтрезка = int(длинаОтрезка / 2) 
   середина = леваяГраница + половинаОтрезка
   if (sign(массив[леваяГраница])  sign(массив[середина]))
      праваяГраница = середина
   else
      леваяГраница = середина
}
printf середина

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Волков Е. А. Глава 4. Методы решения нелинейных уравнений и систем. § 26. Метод деления отрезка пополам // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 190. — 248 с.

СсылкиПравить