Линейная функция

Линейная функция — функция вида

y=kx+b

(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

В случаях $b=0$ линейные функции называются однородными (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от $b\neq 0$ — неоднородных линейных функций.

Свойства

$k$ (угловой коэффициент прямой) является тангенсом угла $\alpha \in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}};\pi \right),$ который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, и может быть найден по формуле $k=\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$ .
При $k>0$ , прямая образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
При $k<0$ , прямая образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
При $k=0$ , прямая параллельна оси абсцисс.

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями $y=k_{1}x+b_{1},$ и $y=k_{2}x+b_{2},$ определяется равенством: $\mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,$ где $k_{1}k_{2}\neq -1,$ то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при $k_{1}=k_{2},~\alpha =0$ и прямые параллельны.

$b$ является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
При $b=0$ , прямая проходит через начало координат.

Линейная функция монотонна и невыпукла на всей области определения $(\mathbb {R} )$ , производная $f'(x)$ и первообразная $F(x)$ функции $f(x)=kx+b$ запишутся:

$f'(x)=k$
$F(x)={\frac {kx^{2}}{2}}+bx+C$

Обратная функция к $f(x)$ : $f^{-1}(x)={\frac {1}{k}}\,x-{\frac {b}{k}}$

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция $n$ переменных $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ — функция вида

f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}

где $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё $n$ -мерное пространство переменных $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ вещественных или комплексных. При $a_{0}=0$ линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ и коэффициенты $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ — вещественные числа, то графиком линейной функции в $(n+1)$ -мерном пространстве переменных $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y$ является $n$ -мерная гиперплоскость

y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}

в частности при $n=1$ — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства $X$ над некоторым полем $K$ в это поле, то есть для такого отображения $f:X\to K$ , что для любых элементов $x,y\in X$ и любых $\alpha ,\beta \in K$ справедливо равенство

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ называется линейной, если существуют такие $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ , где $a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}$ , что для любых $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ имеет место равенство:

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}

.

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция $y=x^{2}$ .

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям $f=kx+b$ , где $b\neq 0$ , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае $f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})$ и $f(cx)\neq cf(x)$ . Например, нелинейной зависимостью считают $\sigma (\tau )$ для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также