Выразимость в радикалах

Не следует путать с радикалом целого числа.

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операцийсложения, вычитания, умножения, деления.

Для чиселПравить

Первичные определенияПравить

Стандартное определениеПравить

Элемент   поля   называется выразимым в радикалах над подполем   поля  , если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля  , значение которого равно  . В случае, если в поле   корень является многозначной функцией, считается достаточным равенство числа   хотя бы одному из возможных значений алгебраического выражения.

Иначе говоря, множество выразимых в радикалах чисел состоит из множества значений всех рациональных выражений, частных сумм радикалов от значений рациональных выражений и частных сумм вложенных радикалов от значений рациональных выражений.

Определение без использования отсылок к формальному языку математикиПравить

Пусть   является подполем поля  . Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей  , что   и  [nb 1] для любого   от   до  , где   — такое число из поля  , что для некоторого натурального   число   принадлежит  . Число   называется выразимым в радикалах над подполем   поля  , если при некотором   для него найдутся такие наборы   и  , что  [1].

Прочие определенияПравить

  • Действительное число   называется выразимым в действительных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел   поля действительных чисел  . Корни чётной степени в принимающем значение   алгебраическом выражении при этом позволяется брать только из неотрицательных чисел, то есть значение любого подвыражения рассматриваемого выражения должно иметь нулевую мнимую часть.
  • Комплексное число   (которое может являться и действительным) называется выразимым в комплексных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел   поля комплексных чисел  . Выразимое в действительных радикалах число всегда является выразимым в комплексных радикалах. Первичное возникновение комплексных чисел в алгебраическом выражении, принимающем значение  , может происходить только благодаря извлечению корня чётной степени из отрицательных чисел. Для упрощения работы с неоднозначностью корней  -ой степени в комплексных числах применяются различные методы указания на то, какой из корней является необходимым для получения данного числа: например, комплексные корни из единицы, являющиеся важными константами, пронумерованы явно в порядке против часовой стрелки на стандартной комплексной плоскости, начиная с самой единицы.
  • Элемент   поля   называется выразимым в радикалах степени   над подполем   поля  , если некоторое алгебраическое выражение с числами из  , значение которого равно  , из возможных корней содержит только корни степени  . В частности, при   число   называется выразимым в квадратных радикалах, а при   выразимым в кубических радикалах. Возможны также комбинации: например, числа   и   являются выразимыми в квадратных и кубических радикалах над полем рациональных чисел  . Определение, не выходящее за рамки стандартного формального языка, имеет следующий вид: элемент   поля   называется выразимым в радикалах степени   над подполем   поля  , если он выразим в радикалах над полем   и все  , участвующие в определении выразимости в радикалах для  , данном выше, равны  [1].
  • Число, выразимое в действительных квадратных радикалах, называется вещественно построимым[2].
  • Пусть  поле. Тогда поле  [nb 2], где   и  , называется радикальным расширением поля  [3]. Таким образом, в построенной выше цепочке полей   каждое следующее является некоторым радикальным расширением предыдущего. В случае   указанное поле называется квадратичным расширением поля  , то есть число, выразимое в квадратных радикалах, принадлежит очередному полю в цепочке квадратичных расширений изначального подполя[4].
  • Число, выразимое в радикалах, называется выразимым за   радикалов, если среди всех равных ему алгебраических выражений минимальное количество корней в них равно  [5].

ПримерыПравить

  • Число   выразимо в действительных квадратных радикалах, то есть вещественно построимо. Одновременно оно выразимо в действительных радикалах любой степени вида  , где   — натуральное, так как  .
  • Число   также на первый взгляд кажется выразимым только в радикалах любой степени вида  , однако на самом деле оно выразимо в радикалах любой степени и любого вида, так как   для любого  .
  • Не всегда сразу можно определить и такое минимальное  , что рассматриваемое число выразимо за   радикалов, так как с виду выразимое за два квадратных радикала число   на самом деле равно   и является выразимым за один квадратный радикал.
  • Больше подобных примеров приведено в статье вложенные радикалы.
  • Число   выразимо в радикалах над подполем   поля  , так как единственный корень чётной степени в данном алгебраическом выражении извлекается из неотрицательного числа  , но не выразимо в действительных радикалах, так как  . В отличие от предыдущих пунктов, в данном случае мы можем говорить о негативном свойстве рассматриваемого числа на основании конкретной его записи, так как, предположив, что оно выразимо в действительных радикалах, мы легко получили бы алгебраическое выражение для  , которого не существует в силу трансцендентности этого числа (см. раздел общие свойства).

ПоясненияПравить

  • Под выразимостью в радикалах в отношении действительного числа без прочих уточнений в литературе обычно подразумевается выразимость в комплексных радикалах.

Для функций, многочленов и уравненийПравить

Первичные определенияПравить

Стандартное определениеПравить

Функция  , принимающая значения в поле   и зависящая от некоторого количества параметров, называется выразимой в радикалах над подполем   поля  , если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля   и указанные параметры, значение которого совпадает со значением   при любых допустимых значениях этих параметров[6].

Определение без использования отсылок к формальному языку математикиПравить

Пусть   является подполем поля  . Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей  , элементами которых являются функции из   (возможно, без нескольких точек воизбежание деления на ноль) в  , что   состоит из всех рациональных функций над  , а  [nb 3] для любого   от   до  , где   — такая непрерывная функция на  , что для некоторого натурального   функция   принадлежит  . Функция   называется выразимой в радикалах над подполем   поля  , если при некотором   для неё найдутся такие наборы   и  , что  .

Прочие определенияПравить

  • Многозначная функция   называется выразимой в радикалах над подполем  , если все выделяемые из неё однозначные функции также выразимы в радикалах над подполем  .
  • Многочлен от одной переменной, зависящий от некоторого количества параметров (определяющих некоторые его коэффициенты), называется разрешимым в радикалах, если выразима в радикалах непрерывная и, возможно, многозначная функция, сопоставляющая набору значений параметров соответствующий ему набор корней многочлена.
  • Алгебраическое уравнение называется разрешимым в радикалах, если разрешим в радикалах многочлен, приравнивающийся к нулю в этом уравнении[4][7].
  • К функциям и многочленам применимы все ограничения определения выразимости и разрешимости в радикалах соответственно, указанные выше. Например, функция  , определённая как   на всей действительной прямой, выразима в квадратных комплексных радикалах.

ПримерыПравить

  • Многозначная функция  ,   выразима в радикалах, так как все шесть выделяемых из неё однозначных функций   удовлетворяют условию  , где  алгебраическое выражение, использующее только переменную, выступающую в качестве аргумента функции, и комплексные числа.
  • Многочлен   разрешим в комплексных квадратных радикалах, так как при любом   его корни задаются функцией  . Однако разрешимым в действительных радикалах этот многочлен может являться только при том ограничении, что число   принадлежит множеству неположительных чисел.

ПоясненияПравить

  • В случае с комплексной функцией без уточнения подполя   оно обычно подразумевается равным тому же множеству комплексных чисел  .
  • Важно отметить тот факт, что выразимость в радикалах функции и выразимость в радикалах образа каждого элемента при её применении не равносильны: к примеру, удовлетворяющая второму условию функция на   может не быть непрерывной, в то время как для удовлетворяющей первому условию это требование обязательно.

Общие свойстваПравить

  • Множества выразимых в радикалах чисел и выразимых в радикалах функций являются полями, содержащими поля, над которыми они выразимы в радикалах, в качестве подполей.
  • Любое выразимое в радикалах комплексное число является алгебраическим, однако не любое алгебраическое число выразимо в радикалах. Первое утверждение следует из алгебраичности рациональных чисел и из того, что множество алгебраических чисел является полем (на каждом шаге перехода от   к   в определении выразимого в радикалах числа алгебраические числа порождают только алгебраические). Второе утверждение следует из нижеследующей теоремы о существовании уравнения   степени с целыми коэффициентами, хотя бы один из корней которого невыразим в радикалах. Точно также, любая выразимая в радикалах функция является алгебраической, в то время как не всякая алгебраическая функция выразима в радикалах. Иными словами, поле алгебраических чисел содержит поле чисел, выразимых в радикалах, а поле алгебраических функций содержит поле функций, выразимых в радикалах, однако обратные утверждения неверны.
  • Любая выразимая в радикалах функция переводит множества чисел, выразимых в радикалах, алгебраических чисел и трансцендентных чисел над тем же полем внутрь них самих. В случае, если аргумент многозначной выразимой в радикалах функции целиком состоит из чисел одного из этих множеств, образ также попадает в него. Однако только последние два множества всегда целиком являются образами себя. Получить выразимое в радикалах число, получаемое при применении выразимой в радикалах функции только к невыразимым в радикалах числам, можно следующим образом: возьмём многочлен   степени с целыми коэффициентами, ни один из корней которого не выразим в радикалах и свободный член которого не равен нулю (по теореме Кронекера, описанной ниже, в качестве такого многочлена может подойти, к примеру,  [2]). Тогда функция, заданная таким многочленом без свободного члена, принимает равное ему значение только в корнях этого многочлена, невыразимых в радикалах, в то время как сам свободный член является целым числом и, очевидно, выражается в любых радикалах.

Геометрические и тригонометрические теоремыПравить

  • Основная теорема теории геометрических построений: при наличии на плоскости отрезка длины   отрезок длины   построим циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число   является вещественно построимым (то есть выразимо в квадратных действительных радикалах)[2][1][8][9]. Отсюда следует невозможность квадратуры круга и удвоения куба циркулем и линейкой, поскольку в итоге будут получены непостроимые вещественно числа   и   соответственно[1].
  • В более общем виде рассмотренная выше теорема звучит так: при данных отрезках длин   отрезок длины   можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда  [1].
  • Теорема Гаусса: Число   вещественно построимо тогда и только тогда, когда  , где все   — попарно различные простые числа Ферма. Из данной теоремы, в частности, следует, что число   не является вещественно построимым, то есть провести циркулем и линейкой трисекцию угла  , а значит, и произвольного угла, невозможно[2][1]. Аналогичным образом доказывается невозможность разбиения произвольного угла на любое количество равных частей, не являющееся степенью двойки — если бы такое разбиение было возможно, то можно было бы построить углы вида  , что возможно только при  .
Список алгебраических выражений для тригонометрических функций некоторых углов приведён в статье Тригонометрические константы. Побочный результат рассмотренной теоремы состоит в том, что значения тригонометрических функций в угле, составляющем целое число градусов, выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда это число делится на  .
  • Теорема Гаусса — Ванцеля также сразу следует из приведённой выше теоремы Гаусса и гласит, что правильный  -угольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда  , где все   — попарно различные простые числа Ферма, то есть тогда и только тогда, когда косинус его центрального угла, равного  , вещественно построим[2][9][4].
  • Несмотря на указанные выше факты, косинус любого угла, кратного  , выразим в комплексных радикалах, так как  , где   — второй в стандартной нумерации корень из единицы после самой единицы, а число   выражается через   или   при помощи многочленов Чебышёва. Однако даже в тех случаях, когда косинус данного угла выразим только в комплексных радикалах произвольной степени, но не в квадратных действительных, минимальная степень радикалов соответствующего выражения не обязательно равна  : например,  , то есть это число выразимо в квадратных и кубических радикалах (в данном случае для получения верного значения среди возможных девяти следует взять значения кубических корней с наибольшей действительной частью).

Теоремы о функцияхПравить

  • Группа Галуа выражающейся в комплексных радикалах функции разрешима[6]. (В данном случае под "группой Галуа функции" подразумевается группа перестановок листов римановой поверхности функции, порождённая кольцевыми перестановками вокруг точек разветвления этой поверхности.)
  • Производная функции, выражающейся в радикалах, также выражается в радикалах, поскольку производные всех допустимых в алгебраических выражениях арифметических операций, применённых к функциям, являются алгебраическими выражениями, использующими только значения этих функций и, в случае с корнем, его степень, в качестве переменных:
 
 
 
 
 
 
 
 

Теоремы о многочленахПравить

  • Многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа в общем виде разрешима[10].
  • Теорема Кронекера: хотя бы один из корней неприводимого в рациональных числах уравнения простой степени   с целыми коэффициентами выразим в радикалах как число только в том случае, если среди них ровно один или ровно   действительных[2][3]. Из этого путём построения неприводимого многочлена   степени с целыми коэффициентами и тремя действительными корнями (примером такого многочлена может служить  ) мгновенно выводится частный случай следующей теоремы для поля рациональных чисел  :
  • Теорема Абеля-Руффини, гласящая, что уравнения любой степени, не меньшей  , с целыми коэффициентами не разрешимы в радикалах в общем виде (то есть при параметризации всех их коэффициентов).
  • Однако уравнения с целыми коэффициентами степени до   включительно разрешимы (см. Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение, Уравнение четвёртой степени). При этом линейные уравнения разрешимы и без использования радикалов, квадратные — только с использованием квадратных радикалов (а при действительных корнях ещё и действительных), кубические и четвёртой степени — только с использованием действительных квадратных и комплексных кубических радикалов [2][5]. Более того, как видно из формул для решения всех этих уравений (для   и   степеней см. Формула Кардано и Формула Феррари), они разрешимы даже над полем рациональных чисел.
  • Уравнения более узкого класса, называемые возвратными, разрешимы в радикалах вплоть до   степени включительно. Возвратные многочлены нечётной степени   имеют вид   и представляются в виде произведения скобки   и некоторого возвратного же уравнения чётной степени, а оно, в свою очередь, выглядит следующим образом:   и может быть при   записано в виде  , что при откидывании первого множителя может быть преобразовано в многочлен относительно   степени  . По приведённой выше теореме Абеля-Руффини такое уравнение разрешимо в радикалах вплоть до  , следовательно, возвратное уравнение разрешимо в радикалах вплоть до степени  [11].
  • Также нетрудно убедиться по индукции по  , что разрешимы в радикалах в общем виде многочлены вида  , где   — многочлены степени не выше  . Частный случай вида  , где   - многочлен   степени, называется биквадратным уравнением и, будучи записанным в виде  , имеет четыре корня, равные  .
  • Пусть  неприводимый многочлен над полем  , а  поле его разложения. Многочлен   разрешим в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда   (то есть размерность   как линейного пространства над полем   равна   для некоторого натурального  )[1].

Происхождение терминаПравить

Под «радикалами» во всех рассмотренных словосочетаниях подразумеваются математические корни целой степени — это слово ведёт своё происхождение от латинского слова «radix», имеющего, помимо прочего, то же значение. Так как операции сложения и умножения вместе с обратными к ним, также разрешённые в алгебраических выражениях, формально определяются до возведения в степень, а значит, и корня, именно корень, как "крайняя" допустимая операция, фигурирует в названии свойства.

СноскиПравить

  1. Здесь запись   обозначает минимальное расширение поля  , содержащее элемент  , то есть пересечение всех содержащих его расширений  .
  2. Здесь запись   обозначает минимальное расширение поля  , содержащее элемент  , то есть пересечение всех содержащих его расширений  .
  3. Здесь запись   обозначает минимальное расширение поля  , содержащее элемент  , то есть пересечение всех содержащих его расширений  .

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 5 6 7 Е.Бунина "Сепарабельные многочлены. Группа Галуа. Выразимость в радикалах. Неразрешимые задачи на построения."
  2. 1 2 3 4 5 6 7 А.Скопенков "Ещё несколько доказательств из Книги: разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах"
  3. 1 2 В.Тихомиров "Абель и его великая теорема" (журнал Квант, 2003, январь)
  4. 1 2 3 Куликов Л.Я. "Алгебра и теория чисел. Учебное пособие для педагогических институтов"
  5. 1 2 "Решение уравнений с использованием одного радикала" (Летняя конференция Турнира Городов)
  6. 1 2 Алексеев В.Б. "Теорема Абеля в задачах и решениях"
  7. Решение уравнений в радикалах (Интерактивная информационно-консультационная среда)
  8. А.Адлер "Теория геометрических построений"
  9. 1 2 М.Баландин "Введение в построения циркулем и линейкой"
  10. Лекция в НИУ ВШЭ
  11. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. "Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства"

ЛитератураПравить