Пусть уравнение
4
{\displaystyle 4}
x
4
+
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
(1)
Если
y
1
{\displaystyle y_{1}}
кубического уравнения
y
3
−
b
y
2
+
(
a
c
−
4
d
)
y
−
a
2
d
+
4
b
d
−
c
2
=
0
{\displaystyle y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0}
(2)
(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
x
2
+
a
2
x
+
y
1
2
=
±
(
a
2
4
−
b
+
y
1
)
x
2
+
(
a
2
y
1
−
c
)
x
+
y
1
2
4
−
d
,
{\displaystyle x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}},}
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
Представим уравнение четвёртой степени в виде:
A
x
4
+
B
x
3
+
C
x
2
+
D
x
+
E
=
0
,
{\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,}
Его решение может быть найдено из следующих выражений:
α
=
−
3
B
2
8
A
2
+
C
A
,
{\displaystyle \alpha =-{3B^{2} \over 8A^{2}}+{C \over A},}
β
=
B
3
8
A
3
−
B
C
2
A
2
+
D
A
,
{\displaystyle \beta ={B^{3} \over 8A^{3}}-{BC \over 2A^{2}}+{D \over A},}
γ
=
−
3
B
4
256
A
4
+
B
2
C
16
A
3
−
B
D
4
A
2
+
E
A
,
{\displaystyle \gamma =-{3B^{4} \over 256A^{4}}+{B^{2}C \over 16A^{3}}-{BD \over 4A^{2}}+{E \over A},}
если
β
=
0
{\displaystyle \beta =0}
u
4
+
α
u
2
+
γ
=
0
{\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0}
x
=
u
−
B
4
A
{\displaystyle x=u-{B \over 4A}}
x
=
−
B
4
A
±
s
−
α
±
t
α
2
−
4
γ
2
,
β
=
0
{\displaystyle x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2}},\qquad \beta =0}
P
=
−
α
2
12
−
γ
,
{\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}
Q
=
−
α
3
108
+
α
γ
3
−
β
2
8
,
{\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},}
R
=
−
Q
2
±
Q
2
4
+
P
3
27
{\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}
U
=
R
3
{\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}}}
y
=
−
5
6
α
+
U
+
{
U
=
0
→
−
Q
3
U
≠
0
→
−
P
3
U
,
{\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cases}},}
W
=
α
+
2
y
{\displaystyle W={\sqrt {\alpha +2y}}}
x
=
−
B
4
A
+
±
s
W
±
t
−
(
3
α
+
2
y
±
s
2
β
W
)
2
.
{\displaystyle x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over W}\right)}} \over 2}.}
Здесь
±
s
{\displaystyle \pm _{s}}
±
t
{\displaystyle \pm _{t}}
+
{\displaystyle +}
−
{\displaystyle -}
кратным , количество дающих его пар значений
±
s
{\displaystyle \pm _{s}}
±
t
{\displaystyle \pm _{t}}
U
{\displaystyle U}
Пусть имеется уравнение канонического вида:
x
4
+
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle \ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0}
Обозначим корни уравнения как
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
0
:
{\displaystyle \ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:}
Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это
x
3
=
−
W
+
i
V
{\displaystyle \ x_{3}=-W+iV}
x
4
=
−
W
−
i
V
{\displaystyle \ x_{4}=-W-iV}
Причём
W
{\displaystyle W}
V
{\displaystyle V}
x
1
=
W
+
i
K
{\displaystyle \ x_{1}=W+iK}
x
2
=
W
−
i
K
{\displaystyle \ x_{2}=W-iK}
Здесь
K
{\displaystyle K}
a
=
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
1
x
4
+
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
x
3
x
4
=
x
1
x
2
+
(
x
1
+
x
2
)
(
x
3
+
x
4
)
+
x
3
x
4
=
{\displaystyle \ a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=}
=
(
W
2
+
K
2
)
+
(
W
2
+
V
2
)
−
4
W
2
=
V
2
+
K
2
−
2
W
2
{\displaystyle \ =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^{2}}
Выразим К через остальные коэффициенты:
K
2
=
a
+
2
W
2
−
V
2
{\displaystyle \ K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}}
c
=
x
1
x
2
x
3
x
4
=
W
4
+
(
V
2
+
K
2
)
W
2
+
K
2
V
2
=
W
4
+
2
W
4
+
a
V
2
+
2
W
2
V
2
−
V
4
+
a
W
2
{\displaystyle \ c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2}V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}}
или
V
4
−
(
a
+
2
W
2
)
V
2
+
c
−
3
W
4
−
a
W
2
=
0
{\displaystyle \ V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0}
Итого
V
2
=
1
/
2
(
(
a
+
2
W
2
)
±
a
2
−
4
c
+
8
a
W
2
+
16
W
4
)
{\displaystyle \ V^{2}=1/2((a+2W^{2})\pm {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}})}
b
=
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
x
1
x
3
x
4
+
x
2
x
3
x
4
=
(
W
2
+
K
2
)
⋅
(
−
2
W
)
+
(
W
2
+
V
2
)
⋅
(
2
W
)
=
2
W
(
V
2
−
K
2
)
=
{\displaystyle \ b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=(W^{2}+K^{2})\cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})\cdot (2W)=2W(V^{2}-K^{2})=}
=
2
W
(
2
V
2
−
a
−
2
W
2
)
=
2
W
⋅
a
2
−
4
c
+
8
a
W
2
+
16
W
4
{\displaystyle \ =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2W\cdot {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4}}}}
Или
b
2
=
4
W
2
⋅
(
a
2
−
4
c
+
8
a
W
2
+
16
W
4
)
{\displaystyle \ b^{2}=4W^{2}\cdot (a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4})}
Отсюда
64
W
6
+
32
a
W
4
+
4
(
a
2
−
4
c
)
W
2
−
b
2
=
0
{\displaystyle \ 64W^{6}+32aW^{4}+4(a^{2}-4c)W^{2}-b^{2}=0}
Заменяя
y
=
W
2
{\displaystyle \ y=W^{2}}
резольвенту , решив которую, находим W
![{\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0bd6c3493e981ab8178e701ad3eece33e62807)
![{\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{cases}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a927ab16077f14191a5374f7d7be272e389e7d1)
