Уравнение четвёртой степени

(перенаправлено с «Биквадратное уравнение»)

Уравне́ние четвёртой сте́пени — в математике алгебраическое уравнение вида:

График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как функция является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.

Теорема Виета для уравнения четвёртой степени править

Корни уравнения четвёртой степени   связаны с коэффициентами   следующим образом:

 
 
 
 

История править

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»[2].

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема[3].

Решения править

Решение через резольвенту править

Решение уравнения четвёртой степени

 

сводится к решению кубической резольвенты

 

Корни резольвенты   связаны с корнями исходного уравнения   (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

 
 
 

Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано.

Три формулы соотношений между   и   вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при  )

 

дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — Эйлера править

В уравнении четвёртой степени

 

сделаем подстановку  , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

 

где  

 
 

Корни   такого уравнения равны одному из следующих выражений:

     

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

 

причём   — это корни кубического уравнения

 

Решение Феррари править

Решение уравнения четвёртой степени вида   может быть найдено по методу Феррари. Если   — произвольный корень кубического уравнения

 

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

 

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение править

Биквадратное уравнение[4] — алгебраическое уравнение четвёртой степени вида  , где   — заданные комплексные числа и  . Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой   оно сводится к квадратному уравнению относительно  .

Четыре его корня находятся по формуле

 

Возвратные уравнения четвёртой степени править

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для   такого, что  , решение находится приведением к виду:

 ,

После замены   ищется решение квадратного уравнения  , а затем — квадратного уравнения  .

Примечания править

  1. Ferrari biography. Дата обращения: 26 сентября 2009. Архивировано 29 октября 2009 года.
  2. «Великое искусство» (Ars magna Архивная копия от 26 июня 2008 на Wayback Machine, 1545)
  3. Стюарт, Ян. Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.)
  4. В литературе до середины XX века биквадратным также могли называть уравнение четвёртой степени общего вида

Литература править

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9.
  • Лекция 4 в кн.: Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — М.: МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

Ссылки править