Уравнение пятой степени

Уравнением пятой степени называют уравнение вида:

График полинома 5-й степени с четырьмя критическими точками.

Теорема Виета для уравнения пятой степени

править

Корни уравнения пятой степени   связаны с коэффициентами   следующим образом:

 
 
 
 
 

Решение

править

Точной формулы решения уравнения пятой степени в радикалах не существует. Если  , то уравнение имеет вид:

 , где   выносим за скобки (см. Сводное уравнение)

 , где один из корней равен нулю.

В скобках уравнение четвертой степени.

Если  , уравнение биквадратное. Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле

 .

Если  , уравнение в скобках имеет вид

 , где выносим за скобки:

 , где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано.


Также, решение общего уравнения пятой степени может быть сведено с помощью замен и преобразования Бринга-Жерара к уравнению вида  [1]


Решение уравнения вида   может быть представлено в виде ряда:[1]

 

Пример

править

Решите уравнение

 .

Решение. Выносим   за скобки:

 .

Раскладываем   на множители:

 .

Уравнение имеет пять корней:

 ,  ,  ,  ,  .

Примечания

править
  1. 1 2 Практикум 5-11 [НАСТОЯЩЕЕ советское образование]. Telegram. Дата обращения: 8 марта 2025.

Ссылки

править