Уравнение пятой степени

Уравнением пятой степени называют уравнение вида: $ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0$

График полинома 5-й степени с четырьмя критическими точками.

Теорема Виета для уравнения пятой степени

Корни уравнения пятой степени $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}$ связаны с коэффициентами $a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f$ следующим образом:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5}+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a}},$

$x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a}}.$

Решение

Точной формулы решения уравнения пятой степени в радикалах не существует. Если $a=1,f=0$, то уравнение имеет вид:

$x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0$, где $x$ выносим за скобки (см. Сводное уравнение)

$x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0$, где один из корней равен нулю.

В скобках уравнение четвертой степени.

Если $b=d=0$, уравнение биквадратное. Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле

${\textstyle \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$.

Если $b=e=0$, уравнение в скобках имеет вид

$x^{4}+cx^{2}+dx=0$, где выносим за скобки:

$x(x^{3}+cx+d)=0$, где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано.

Также, решение общего уравнения пятой степени может быть сведено с помощью замен и преобразования Бринга-Жерара к уравнению вида $x^{5}+x+a=0$

Решение уравнения вида $x^{5}+x+a=0$ может быть представлено в виде ряда:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(5n)!}{(4n+1)!n!}}a^{4n+1}$

Пример

Решите уравнение

$x^{5}+5x=0$.

Решение. Выносим $x$ за скобки:

$x(x^{4}+5)=0$.

Раскладываем $x^{4}+5$ на множители:

$x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)=0$.

Уравнение имеет пять корней:

$x_{1}=0$, $x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$, $x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$, $x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$, $x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i$.

Ссылки

• О решении уравнения пятой степени
• О решении уравнений высших степеней