Открыть главное меню

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция комплексных переменных ограничена, то есть

то есть константа.

ОбобщенияПравить

  • Если  целая функция в   и для некоторого  ,
 
то   есть многочлен по переменным   степени не выше  .
  • Если   ― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве  ,
 
то   есть гармонический многочлен по переменным.

ИсторияПравить

Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 Коши для случая  . Лиувилль излагал его на лекциях в 1847, откуда и произошло название.

Доказательство (для случая )Править

Пусть   ограничена на комплексной плоскости, то есть

 

Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной  

  Где   — окружность радиуса  , содержащая точку  .

Имеем

 

Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем  

А значит   и, следовательно,   является константой. Теорема доказана.