Интегральная формула Коши

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.

Эта формула выражает одну из важнейших особенностей комплексного анализа: значение в любой точке внутри области можно определить, зная значения на её границе.

ФормулировкаПравить

Пусть   — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей  , функция   голоморфна в  , и   — точка внутри области  . Тогда справедлива следующая формула Коши:

 

Формула справедлива также, если предполагать, что   голоморфна внутри   и непрерывна на замыкании, а также если граница   не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

ДоказательствоПравить

Рассмотрим окружность Sρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z0. В области, ограниченной контурами Γ и Sρ (то есть состоящей из точек области   за исключением точек внутри Sρ), подынтегральная функция не имеет особенностей, и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от ρ имеем равенство

 

Для расчёта интегралов по   применим параметризацию  .

Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая  :

 

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

 

Так как функция   комплексно дифференцируема в точке  , то

 

Интеграл от   равен нулю:

 

Интеграл от члена   может быть сделан сколь угодно малым при  . Но поскольку он от   вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что

 

СледствияПравить

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это — ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

Аналитичность голоморфных функцийПравить

В окрестности любой точки   из области, где функция   голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

 ,

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке  , в котором функция   голоморфна, а коэффициенты   могут быть вычислены по интегральным формулам:

 .

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов   функций, голоморфных в круге  :

 ,

где   — максимум модуля функции   на окружности  , а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

 

получается интегральное представление производных функции  :

 

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области  , если это семейство равномерно ограничено в  . В сочетании с теоремой Арцела—Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области  , можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в   к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областяхПравить

Если функция   голоморфна в области   вида  , то в ней она представима суммой ряда Лорана:

 ,

причём коэффициенты   могут быть вычислены по интегральным формулам:

 ,

а сам ряд Лорана сходится в   к функции   равномерно на каждом компакте из  .

Формула для коэффициента   часто применяется для вычисления интегралов от функции   по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функцийПравить

Если функция   голоморфна в круге  , тогда для каждого  

 

а также если   — круг радиуса   с центром в  , тогда

 

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция   голоморфна в области   и внутри   её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция   голоморфна в области   и внутри   её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственностиПравить

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

  • лемма Шварца: если функция   голоморфна в круге  ,   и для всех точек   из этого круга  , тогда всюду в этом круге  ,
  • теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке  , совпадают в некоторой окрестности этой точки,
  • теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции  , голоморфной в области   имеют предельную точку внутри  , тогда функция   равна нулю всюду в  .

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.