Принцип максимума модуля

ФормулировкаПравить

Если   голоморфна в некоторой области   и существует точка   такая, что во всей области   выполняется неравенство  , то  .

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области  .

СледствияПравить

  • Принцип минимума модуля. Если   аналитична в некоторой области  , не обращается там в нуль, и существует точка   такая, что во всей области   выполняется неравенство  , то  . (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
  • Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции   в точке   достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция   есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций   и  , а также равенство  .)

  • Пусть   — компактное подмножество. Для всякой функции  , непрерывной на   и аналитичной внутри  , выполнено равенство:
 

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта  , тогда она сходится равномерно на всём  .