Принцип максимума модуля

Принцип максимума модуля выражается следующей теоремой:

Если $f$ голоморфна в некоторой области $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ и существует точка $z_{0}\in G$ такая, что во всей области $G$ выполняется неравенство $|f(z_{0})|\geqslant |f(z)|$, то $f(z)\equiv \mathrm {const}$.

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области $G$.

Следствия

• Принцип минимума модуля. Если $f$ аналитична в некоторой области $G\subset \mathbb {C} ^{n}$, не обращается там в нуль, и существует точка $z_{0}\in G$ такая, что во всей области $G$ выполняется неравенство $|f(z_{0})|\leqslant |f(z)|$, то $f(z)\equiv \mathrm {const}$. (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
• Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции $f(z)$ в точке $z_{0}\in G$ достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция $f(z)$ есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций $e^{f(z)}$ и $e^{if(z)}$, а также равенство $\left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm {Re} \,f(z)}$.)

• Пусть $K\subset \mathbb {C} ^{n}$ — компактное подмножество. Для всякой функции $f$, непрерывной на $K$ и аналитичной внутри $K$, выполнено равенство:

$\|f\|_{K}=\|f\|_{\partial K}.$

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта $K$, тогда она сходится равномерно на всём $K$.

• Лемма Шварца

Литература

• А. В. Домрин, А. Г. Сергеев. Часть II : Второе полугодие // Лекции по комплексному анализу. — Москва : МИАН, 2004. — С. 181. — ISBN 5-98419-006-0.